Rezolvați 5/x^2-4+x/x-2=4

$$\frac { 5 } { x ^ { 2 } - 4 } + \frac { x } { x - 2 } = 4$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x-8 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Combinați x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Adăugați 16 la ambele părți.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

Adunați 5 și 16 pentru a obține 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3x^{2}+ax+bx+21. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=-3\times 21=-63$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 2.

$$a=9 b=-7$$

Rescrieți -3x^{2}+2x+21 ca \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right)$$

Factor 3x în primul și 7 în al doilea grup.

$$3x\left(-x+3\right)+7\left(-x+3\right)$$

Scoateți termenul comun -x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+3=0 și 3x+7=0.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x-8 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Combinați x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Adăugați 16 la ambele părți.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

Adunați 5 și 16 pentru a obține 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 2 și c cu 21 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 4 cu 252.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$x=\frac{-2±16}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-2±16}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±16}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 16.

$$x=\frac{14}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{14}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±16}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din -2.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Împărțiți -18 la -6.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{7}{3} x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x-8 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Combinați x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$-3x^{2}+2x=-16-5$$

Scădeți 5 din -16 pentru a obține -21.

$$-3x^{2}+2x=-21$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{21}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{21}{-3}$$

Împărțiți 2 la -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{21}{-3}$$

Împărțiți -21 la -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=7$$

Împărțiți -\frac{2}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=7+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=7+\frac{1}{9}$$

Adunați 7 cu \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{64}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{8}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}$$

Adunați \frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$