Rezolvați 4/x-1+2/x+1=35

$$\frac { 4 } { x - 1 } + \frac { 2 } { x + 1 } = 35$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{2 \sqrt{326} + 3}{35} \approx 1,117455433$$

$$x=\frac{3-2\sqrt{326}}{35}\approx -0,946026862$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4+\left(x-1\right)\times 2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 4.

$$4x+4+\left(x-1\right)\times 2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 2.

$$4x+4+2x-2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 4x cu 2x pentru a obține 6x.

$$6x+4-2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Scădeți 2 din 4 pentru a obține 2.

$$6x+2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 35 cu x-1.

$$6x+2=\left(35x-35\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 35x-35 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$6x+2=35x^{2}-35$$

Scădeți 35x^{2} din ambele părți.

$$6x+2-35x^{2}=-35$$

Adăugați 35 la ambele părți.

$$6x+2-35x^{2}+35=0$$

Adunați 2 și 35 pentru a obține 37.

$$6x+37-35x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-35x^{2}+6x+37=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -35, b cu 6 și c cu 37 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-35\right)\times 37}}{2\left(-35\right)}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-35\right)\times 37}}{2\left(-35\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -35.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+140\times 37}}{2\left(-35\right)}$$

Înmulțiți 140 cu 37.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+5180}}{2\left(-35\right)}$$

Adunați 36 cu 5180.

$$x=\frac{-6±\sqrt{5216}}{2\left(-35\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 5216.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{326}}{2\left(-35\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -35.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{326}}{-70}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±4\sqrt{326}}{-70} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 4\sqrt{326}.

$$x=\frac{4\sqrt{326}-6}{-70}$$

Împărțiți -6+4\sqrt{326} la -70.

$$x=\frac{3-2\sqrt{326}}{35}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±4\sqrt{326}}{-70} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{326} din -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{326}-6}{-70}$$

Împărțiți -6-4\sqrt{326} la -70.

$$x=\frac{2\sqrt{326}+3}{35}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3-2\sqrt{326}}{35} x=\frac{2\sqrt{326}+3}{35}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4+\left(x-1\right)\times 2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 4.

$$4x+4+\left(x-1\right)\times 2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 2.

$$4x+4+2x-2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 4x cu 2x pentru a obține 6x.

$$6x+4-2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Scădeți 2 din 4 pentru a obține 2.

$$6x+2=35\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 35 cu x-1.

$$6x+2=\left(35x-35\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 35x-35 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$6x+2=35x^{2}-35$$

Scădeți 35x^{2} din ambele părți.

$$6x+2-35x^{2}=-35$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$6x-35x^{2}=-35-2$$

Scădeți 2 din -35 pentru a obține -37.

$$6x-35x^{2}=-37$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-35x^{2}+6x=-37$$

Se împart ambele părți la -35.

$$\frac{-35x^{2}+6x}{-35}=-\frac{37}{-35}$$

Împărțirea la -35 anulează înmulțirea cu -35.

$$x^{2}+\frac{6}{-35}x=-\frac{37}{-35}$$

Împărțiți 6 la -35.

$$x^{2}-\frac{6}{35}x=-\frac{37}{-35}$$

Împărțiți -37 la -35.

$$x^{2}-\frac{6}{35}x=\frac{37}{35}$$

Împărțiți -\frac{6}{35}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{35}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{35} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{6}{35}x+\left(-\frac{3}{35}\right)^{2}=\frac{37}{35}+\left(-\frac{3}{35}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{35} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{6}{35}x+\frac{9}{1225}=\frac{37}{35}+\frac{9}{1225}$$

Adunați \frac{37}{35} cu \frac{9}{1225} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{6}{35}x+\frac{9}{1225}=\frac{1304}{1225}$$

Factor x^{2}-\frac{6}{35}x+\frac{9}{1225}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{35}\right)^{2}=\frac{1304}{1225}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{35}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1304}{1225}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{35}=\frac{2\sqrt{326}}{35} x-\frac{3}{35}=-\frac{2\sqrt{326}}{35}$$

Adunați \frac{3}{35} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2\sqrt{326}+3}{35} x=\frac{3-2\sqrt{326}}{35}$$