Rezolvați 4/x-4/x+2=1

$$\frac { 4 } { x } - \frac { 4 } { x + 2 } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 4-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 4.

$$4x+8-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+2.

$$4x+8-x\times 4=x^{2}+2x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}=2x$$

Scădeți 2x din ambele părți.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}-2x=0$$

Combinați 4x cu -2x pentru a obține 2x.

$$2x+8-x\times 4-x^{2}=0$$

Înmulțiți -1 cu 4 pentru a obține -4.

$$2x+8-4x-x^{2}=0$$

Combinați 2x cu -4x pentru a obține -2x.

$$-2x+8-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}-2x+8=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=-8=-8$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -8.

$$1,-8 2,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -2.

$$a=2 b=-4$$

Rescrieți -x^{2}-2x+8 ca \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-4x+8\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-4x+8\right)$$

Factor x în primul și 4 în al doilea grup.

$$x\left(-x+2\right)+4\left(-x+2\right)$$

Scoateți termenul comun -x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+2\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+2=0 și x+4=0.

$$x=2 x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 4-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 4.

$$4x+8-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+2.

$$4x+8-x\times 4=x^{2}+2x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}=2x$$

Scădeți 2x din ambele părți.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}-2x=0$$

Combinați 4x cu -2x pentru a obține 2x.

$$2x+8-x\times 4-x^{2}=0$$

Înmulțiți -1 cu 4 pentru a obține -4.

$$2x+8-4x-x^{2}=0$$

Combinați 2x cu -4x pentru a obține -2x.

$$-2x+8-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-2x+8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -2 și c cu 8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+32}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 4 cu 32.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±6}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±6}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{2±6}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±6}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 6.

$$x=\frac{8}{-2}$$

Împărțiți 8 la -2.

$$x=-4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±6}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 6 din 2.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Împărțiți -4 la -2.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-4 x=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 4-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 4.

$$4x+8-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+2.

$$4x+8-x\times 4=x^{2}+2x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}=2x$$

Scădeți 2x din ambele părți.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}-2x=0$$

Combinați 4x cu -2x pentru a obține 2x.

$$2x+8-x\times 4-x^{2}=0$$

Scădeți 8 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$2x-x\times 4-x^{2}=-8$$

Înmulțiți -1 cu 4 pentru a obține -4.

$$2x-4x-x^{2}=-8$$

Combinați 2x cu -4x pentru a obține -2x.

$$-2x-x^{2}=-8$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x=-8$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{8}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{8}{-1}$$

Împărțiți -2 la -1.

$$x^{2}+2x=-\frac{8}{-1}$$

Împărțiți -8 la -1.

$$x^{2}+2x=8$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+2x+1^{2}=8+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x^{2}+2x+1=8+1$$

Adunați 8 cu 1.

$$x^{2}+2x+1=9$$

Factor x^{2}+2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=9$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplificați.

$$x+1=3 x+1=-3$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-4$$