Rezolvați 4/x^2-55/x=14

$$\frac { 4 } { x ^ { 2 } } - \frac { 55 } { x } = 14$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{14}\approx 0,071428571$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x^{2}, cel mai mic multiplu comun al x^{2},x.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Scădeți 14x^{2} din ambele părți.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Înmulțiți -1 cu 55 pentru a obține -55.

$$4-55x-14x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-14x^{2}-55x+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -14x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-55 ab=-14\times 4=-56$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -56.

$$1,-56 2,-28 4,-14 7,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-56=-55 2-28=-26 4-14=-10 7-8=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -55.

$$a=1 b=-56$$

Rescrieți -14x^{2}-55x+4 ca \left(-14x^{2}+x\right)+\left(-56x+4\right).

$$\left(-14x^{2}+x\right)+\left(-56x+4\right)$$

Factor -x în primul și -4 în al doilea grup.

$$-x\left(14x-1\right)-4\left(14x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 14x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(14x-1\right)\left(-x-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 14x-1=0 și -x-4=0.

$$x=\frac{1}{14} x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x^{2}, cel mai mic multiplu comun al x^{2},x.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Scădeți 14x^{2} din ambele părți.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Înmulțiți -1 cu 55 pentru a obține -55.

$$4-55x-14x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-14x^{2}-55x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -14, b cu -55 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{\left(-55\right)^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Ridicați -55 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -14.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Înmulțiți 56 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025+224}}{2\left(-14\right)}$$

Adunați 3025 cu 224.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3249}}{2\left(-14\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3249.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±57}{2\left(-14\right)}$$

Opusul lui -55 este 55.

$$x=\frac{55±57}{2\left(-14\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -14.

$$x=\frac{55±57}{-28}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{55±57}{-28} atunci când ± este plus. Adunați 55 cu 57.

$$x=\frac{112}{-28}$$

Împărțiți 112 la -28.

$$x=-4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{55±57}{-28} atunci când ± este minus. Scădeți 57 din 55.

$$x=-\frac{2}{-28}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{-28} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{14}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-4 x=\frac{1}{14}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x^{2}, cel mai mic multiplu comun al x^{2},x.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Scădeți 14x^{2} din ambele părți.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Scădeți 4 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-x\times 55-14x^{2}=-4$$

Înmulțiți -1 cu 55 pentru a obține -55.

$$-55x-14x^{2}=-4$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}-55x=-4$$

Se împart ambele părți la -14.

$$\frac{-14x^{2}-55x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

Împărțirea la -14 anulează înmulțirea cu -14.

$$x^{2}+\left(-\frac{55}{-14}\right)x=-\frac{4}{-14}$$

Împărțiți -55 la -14.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{-14} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x=\frac{2}{7}$$

Împărțiți \frac{55}{14}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{55}{28}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{55}{28} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\left(\frac{55}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(\frac{55}{28}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{55}{28} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}=\frac{2}{7}+\frac{3025}{784}$$

Adunați \frac{2}{7} cu \frac{3025}{784} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}=\frac{3249}{784}$$

Factor x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{55}{28}\right)^{2}=\frac{3249}{784}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{55}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3249}{784}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{55}{28}=\frac{57}{28} x+\frac{55}{28}=-\frac{57}{28}$$

Scădeți \frac{55}{28} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{14} x=-4$$