Rezolvați 24/18-x-24/18+x=1

$$\frac { 24 } { 18 - x } - \frac { 24 } { 18 + x } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=-54$$

$$x=6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -18,18, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-18\right)\left(x+18\right), cel mai mic multiplu comun al 18-x,18+x.

$$-\left(18+x\right)\times 24-\left(x-18\right)\times 24=\left(x-18\right)\left(x+18\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 18+x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$\left(-18-x\right)\times 24-\left(x-18\right)\times 24=\left(x-18\right)\left(x+18\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -18-x cu 24.

$$-432-24x-\left(x-18\right)\times 24=\left(x-18\right)\left(x+18\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-18 cu 24.

$$-432-24x-\left(24x-432\right)=\left(x-18\right)\left(x+18\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 24x-432, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-432-24x-24x+432=\left(x-18\right)\left(x+18\right)$$

Combinați -24x cu -24x pentru a obține -48x.

$$-432-48x+432=\left(x-18\right)\left(x+18\right)$$

Adunați -432 și 432 pentru a obține 0.

$$-48x=\left(x-18\right)\left(x+18\right)$$

Să luăm \left(x-18\right)\left(x+18\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 18 la pătrat.

$$-48x=x^{2}-324$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-48x-x^{2}=-324$$

Adăugați 324 la ambele părți.

$$-48x-x^{2}+324=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-48x+324=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -48 și c cu 324 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 324}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -48 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\left(-1\right)\times 324}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304+4\times 324}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 324.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304+1296}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 2304 cu 1296.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{3600}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3600.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±60}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -48 este 48.

$$x=\frac{48±60}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{48±60}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{48±60}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 48 cu 60.

$$x=\frac{108}{-2}$$

Împărțiți 108 la -2.

$$x=-54$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{48±60}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 60 din 48.

$$x=-\frac{12}{-2}$$

Împărțiți -12 la -2.

$$x=6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-54 x=6$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -18,18, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-18\right)\left(x+18\right), cel mai mic multiplu comun al 18-x,18+x.

$$-\left(18+x\right)\times 24-\left(x-18\right)\times 24=\left(x-18\right)\left(x+18\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 18+x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$\left(-18-x\right)\times 24-\left(x-18\right)\times 24=\left(x-18\right)\left(x+18\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -18-x cu 24.

$$-432-24x-\left(x-18\right)\times 24=\left(x-18\right)\left(x+18\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-18 cu 24.

$$-432-24x-\left(24x-432\right)=\left(x-18\right)\left(x+18\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 24x-432, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-432-24x-24x+432=\left(x-18\right)\left(x+18\right)$$

Combinați -24x cu -24x pentru a obține -48x.

$$-432-48x+432=\left(x-18\right)\left(x+18\right)$$

Adunați -432 și 432 pentru a obține 0.

$$-48x=\left(x-18\right)\left(x+18\right)$$

Să luăm \left(x-18\right)\left(x+18\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 18 la pătrat.

$$-48x=x^{2}-324$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-48x-x^{2}=-324$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-48x=-324$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-48x}{-1}=-\frac{324}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{48}{-1}\right)x=-\frac{324}{-1}$$

Împărțiți -48 la -1.

$$x^{2}+48x=-\frac{324}{-1}$$

Împărțiți -324 la -1.

$$x^{2}+48x=324$$

Împărțiți 48, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 24. Apoi, adunați pătratul lui 24 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+48x+24^{2}=324+24^{2}$$

Ridicați 24 la pătrat.

$$x^{2}+48x+576=324+576$$

Adunați 324 cu 576.

$$x^{2}+48x+576=900$$

Factor x^{2}+48x+576. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+24\right)^{2}=900$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+24\right)^{2}}=\sqrt{900}$$

Simplificați.

$$x+24=30 x+24=-30$$

Scădeți 24 din ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=-54$$