Rezolvați frac{21sqrt{15}}{512+5sqrt{3}}

$$\frac { 21 \sqrt { 15 } } { 512 + 5 \sqrt { 3 } }$$

Evaluați

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}\approx 0,156210599$$

Pașii soluției

Raționalizați numitor de \frac{21\sqrt{15}}{512+5\sqrt{3}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 512-5\sqrt{3}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{\left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right)}$$

Să luăm \left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{512^{2}-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calculați 512 la puterea 2 și obțineți 262144.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Extindeți \left(5\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calculați 5 la puterea 2 și obțineți 25.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\times 3}$$

Înmulțiți 25 cu 3 pentru a obține 75.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-75}$$

Scădeți 75 din 262144 pentru a obține 262069.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262069}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 21\sqrt{15} cu 512-5\sqrt{3}.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{15}}{262069}$$

Descompuneți în factori 15=3\times 5. Rescrieți rădăcina pătrată a produsului \sqrt{3\times 5} ca produs a rădăcini pătrate \sqrt{3}\sqrt{5}.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{5}}{262069}$$

Înmulțiți \sqrt{3} cu \sqrt{3} pentru a obține 3.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\times 3\sqrt{5}}{262069}$$

Înmulțiți -105 cu 3 pentru a obține -315.

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}$$