Rezolvați 2x-3/x+1+x-3/x-1=2

$$\frac { 2 x - 3 } { x + 1 } + \frac { x - 3 } { x - 1 } = 2$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 7}{2} \approx 6,701562119$$

$$x=\frac{7-\sqrt{41}}{2}\approx 0,298437881$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(2x-3\right)+\left(x+1\right)\left(x-3\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 2x-3 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-5x+3+\left(x+1\right)\left(x-3\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu x-3 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-5x+3+x^{2}-2x-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 2x^{2} cu x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}-5x+3-2x-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați -5x cu -2x pentru a obține -7x.

$$3x^{2}-7x+3-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Scădeți 3 din 3 pentru a obține 0.

$$3x^{2}-7x=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu x-1.

$$3x^{2}-7x=\left(2x-2\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-2 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}-7x=2x^{2}-2$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}-7x-2x^{2}=-2$$

Combinați 3x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-7x=-2$$

Adăugați 2 la ambele părți.

$$x^{2}-7x+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -7 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2}}{2}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8}}{2}$$

Adunați 49 cu -8.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{41}}{2}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{41}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±\sqrt{41}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+7}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±\sqrt{41}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{41} din 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{41}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{41}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{41}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(2x-3\right)+\left(x+1\right)\left(x-3\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 2x-3 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-5x+3+\left(x+1\right)\left(x-3\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu x-3 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-5x+3+x^{2}-2x-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 2x^{2} cu x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}-5x+3-2x-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați -5x cu -2x pentru a obține -7x.

$$3x^{2}-7x+3-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Scădeți 3 din 3 pentru a obține 0.

$$3x^{2}-7x=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu x-1.

$$3x^{2}-7x=\left(2x-2\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-2 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}-7x=2x^{2}-2$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}-7x-2x^{2}=-2$$

Combinați 3x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-7x=-2$$

Împărțiți -7, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-2+\frac{49}{4}$$

Adunați -2 cu \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{41}{4}$$

Factor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{41}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2}$$

Adunați \frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{41}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{41}}{2}$$