Rezolvați 2/x-2+3/x+1=1

$$\frac { 2 } { x - 2 } + \frac { 3 } { x + 1 } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=\sqrt{7}+3\approx 5,645751311$$

$$x=3-\sqrt{7}\approx 0,354248689$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 2.

$$2x+2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 3.

$$2x+2+3x-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 2x cu 3x pentru a obține 5x.

$$5x+2-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Scădeți 6 din 2 pentru a obține -4.

$$5x-4=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$5x-4=x^{2}-x-2$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$5x-4-x^{2}=-x-2$$

Adăugați x la ambele părți.

$$5x-4-x^{2}+x=-2$$

Combinați 5x cu x pentru a obține 6x.

$$6x-4-x^{2}=-2$$

Adăugați 2 la ambele părți.

$$6x-4-x^{2}+2=0$$

Adunați -4 și 2 pentru a obține -2.

$$6x-2-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+6x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 6 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 36 cu -8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{28}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 28.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-6}{-2}$$

Împărțiți -6+2\sqrt{7} la -2.

$$x=3-\sqrt{7}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±2\sqrt{7}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{7} din -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-6}{-2}$$

Împărțiți -6-2\sqrt{7} la -2.

$$x=\sqrt{7}+3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3-\sqrt{7} x=\sqrt{7}+3$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 2.

$$2x+2+\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 3.

$$2x+2+3x-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 2x cu 3x pentru a obține 5x.

$$5x+2-6=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Scădeți 6 din 2 pentru a obține -4.

$$5x-4=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$5x-4=x^{2}-x-2$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$5x-4-x^{2}=-x-2$$

Adăugați x la ambele părți.

$$5x-4-x^{2}+x=-2$$

Combinați 5x cu x pentru a obține 6x.

$$6x-4-x^{2}=-2$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$6x-x^{2}=-2+4$$

Adunați -2 și 4 pentru a obține 2.

$$6x-x^{2}=2$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+6x=2$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+6x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{6}{-1}x=\frac{2}{-1}$$

Împărțiți 6 la -1.

$$x^{2}-6x=\frac{2}{-1}$$

Împărțiți 2 la -1.

$$x^{2}-6x=-2$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-2+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x^{2}-6x+9=-2+9$$

Adunați -2 cu 9.

$$x^{2}-6x+9=7$$

Factor x^{2}-6x+9. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=7$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Simplificați.

$$x-3=\sqrt{7} x-3=-\sqrt{7}$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$x=\sqrt{7}+3 x=3-\sqrt{7}$$