Rezolvați 10/x-3-8/x=1

$$\frac { 10 } { x - 3 } - \frac { 8 } { x } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-3\right), cel mai mic multiplu comun al x-3,x.

$$x\times 10-\left(x-3\right)\times 8=x\left(x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu 8.

$$x\times 10-\left(8x-24\right)=x\left(x-3\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 8x-24, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x\times 10-8x+24=x\left(x-3\right)$$

Combinați x\times 10 cu -8x pentru a obține 2x.

$$2x+24=x\left(x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x-3.

$$2x+24=x^{2}-3x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x+24-x^{2}=-3x$$

Adăugați 3x la ambele părți.

$$2x+24-x^{2}+3x=0$$

Combinați 2x cu 3x pentru a obține 5x.

$$5x+24-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=-24=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=8 b=-3$$

Rescrieți -x^{2}+5x+24 ca \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Factor -x în primul și -3 în al doilea grup.

$$-x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

Scoateți termenul comun x-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-8\right)\left(-x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-8=0 și -x-3=0.

$$x=8 x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-3\right), cel mai mic multiplu comun al x-3,x.

$$x\times 10-\left(x-3\right)\times 8=x\left(x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu 8.

$$x\times 10-\left(8x-24\right)=x\left(x-3\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 8x-24, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x\times 10-8x+24=x\left(x-3\right)$$

Combinați x\times 10 cu -8x pentru a obține 2x.

$$2x+24=x\left(x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x-3.

$$2x+24=x^{2}-3x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x+24-x^{2}=-3x$$

Adăugați 3x la ambele părți.

$$2x+24-x^{2}+3x=0$$

Combinați 2x cu 3x pentru a obține 5x.

$$5x+24-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 5 și c cu 24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 25 cu 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-5±11}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-5±11}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±11}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 11.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Împărțiți 6 la -2.

$$x=-3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±11}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -5.

$$x=-\frac{16}{-2}$$

Împărțiți -16 la -2.

$$x=8$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-3 x=8$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-3\right), cel mai mic multiplu comun al x-3,x.

$$x\times 10-\left(x-3\right)\times 8=x\left(x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu 8.

$$x\times 10-\left(8x-24\right)=x\left(x-3\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 8x-24, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x\times 10-8x+24=x\left(x-3\right)$$

Combinați x\times 10 cu -8x pentru a obține 2x.

$$2x+24=x\left(x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x-3.

$$2x+24=x^{2}-3x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x+24-x^{2}=-3x$$

Adăugați 3x la ambele părți.

$$2x+24-x^{2}+3x=0$$

Combinați 2x cu 3x pentru a obține 5x.

$$5x+24-x^{2}=0$$

Scădeți 24 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$5x-x^{2}=-24$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x=-24$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=-\frac{24}{-1}$$

Împărțiți 5 la -1.

$$x^{2}-5x=-\frac{24}{-1}$$

Împărțiți -24 la -1.

$$x^{2}-5x=24$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Adunați 24 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=8 x=-3$$