Rezolvați 1/x+1-3/x^3+1

$$\frac { 1 } { x + 1 } - \frac { 3 } { x ^ { 3 } + 1 }$$

Evaluați

$$\frac{x-2}{x^{2}-x+1}$$

Pașii soluției scurte

Descompuneți în factori x^{3}+1.

$$\frac{1}{x+1}-\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui x+1 și \left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right) este \left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right). Înmulțiți \frac{1}{x+1} cu \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}-x+1}.

$$\frac{x^{2}-x+1}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}-\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}$$

Deoarece \frac{x^{2}-x+1}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)} și \frac{3}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{x^{2}-x+1-3}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}$$

Combinați termeni similari în x^{2}-x+1-3.

$$\frac{x^{2}-x-2}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}$$

Descompuneți în factori expresiile care nu sunt descompuse deja în \frac{x^{2}-x-2}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}.

$$\frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}$$

Reduceți prin eliminare x+1 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{x-2}{x^{2}-x+1}$$

Calculați derivata în funcție de x

$$-\frac{\left(x-2\right)^{2}-3}{\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}$$

Pași folosind regula de derivare pentru cât

Descompuneți în factori x^{3}+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{x+1}-\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)})$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui x+1 și \left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right) este \left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right). Înmulțiți \frac{1}{x+1} cu \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}-x+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}-x+1}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}-\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)})$$

Deoarece \frac{x^{2}-x+1}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)} și \frac{3}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}-x+1-3}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)})$$

Combinați termeni similari în x^{2}-x+1-3.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}-x-2}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)})$$

Descompuneți în factori expresiile care nu sunt descompuse deja în \frac{x^{2}-x-2}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)})$$

Reduceți prin eliminare x+1 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x-2}{x^{2}-x+1})$$

Pentru orice două funcții diferențiabile, derivata câtului celor două funcții este numitorul înmulțit cu derivata numărătorului, minus numărătorul înmulțit cu derivata numitorului, totul împărțit la numitorul la pătrat.

$$\frac{\left(x^{2}-x^{1}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{1}-2)-\left(x^{1}-2\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-x^{1}+1)}{\left(x^{2}-x^{1}+1\right)^{2}}$$

Derivata unui polinom este suma derivatelor termenilor săi. Derivata unui termen constant este 0. Derivata lui ax^{n} este nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-x^{1}+1\right)x^{1-1}-\left(x^{1}-2\right)\left(2x^{2-1}-x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}-x^{1}+1\right)^{2}}$$

Simplificați.

$$\frac{\left(x^{2}-x^{1}+1\right)x^{0}-\left(x^{1}-2\right)\left(2x^{1}-x^{0}\right)}{\left(x^{2}-x^{1}+1\right)^{2}}$$

Înmulțiți x^{2}-x^{1}+1 cu x^{0}.

$$\frac{x^{2}x^{0}-x^{1}x^{0}+x^{0}-\left(x^{1}-2\right)\left(2x^{1}-x^{0}\right)}{\left(x^{2}-x^{1}+1\right)^{2}}$$

Înmulțiți x^{1}-2 cu 2x^{1}-x^{0}.

$$\frac{x^{2}x^{0}-x^{1}x^{0}+x^{0}-\left(x^{1}\times 2x^{1}+x^{1}\left(-1\right)x^{0}-2\times 2x^{1}-2\left(-1\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-x^{1}+1\right)^{2}}$$

Pentru a înmulți puterile cu aceleași baze, adunați exponenții lor.

$$\frac{x^{2}-x^{1}+x^{0}-\left(2x^{1+1}-x^{1}-2\times 2x^{1}-2\left(-1\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-x^{1}+1\right)^{2}}$$

Simplificați.

$$\frac{x^{2}-x^{1}+x^{0}-\left(2x^{2}-x^{1}-4x^{1}+2x^{0}\right)}{\left(x^{2}-x^{1}+1\right)^{2}}$$

Combinați termenii asemenea.

$$\frac{-x^{2}+4x^{1}-x^{0}}{\left(x^{2}-x^{1}+1\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t, t^{1}=t.

$$\frac{-x^{2}+4x-x^{0}}{\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t cu excepția lui 0, t^{0}=1.

$$\frac{-x^{2}+4x-1}{\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}$$