Rezolvați 1/n-1/n+1

$$\frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 }$$

Evaluați

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Pașii soluției scurte

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui n și n+1 este n\left(n+1\right). Înmulțiți \frac{1}{n} cu \frac{n+1}{n+1}. Înmulțiți \frac{1}{n+1} cu \frac{n}{n}.

$$\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}$$

Deoarece \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} și \frac{n}{n\left(n+1\right)} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}$$

Combinați termeni similari în n+1-n.

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Extindeți n\left(n+1\right).

$$\frac{1}{n^{2}+n}$$

Calculați derivata în funcție de n

$$-\frac{2n+1}{\left(n\left(n+1\right)\right)^{2}}$$

Pași folosind regula lanțului de derivare

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui n și n+1 este n\left(n+1\right). Înmulțiți \frac{1}{n} cu \frac{n+1}{n+1}. Înmulțiți \frac{1}{n+1} cu \frac{n}{n}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)})$$

Deoarece \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} și \frac{n}{n\left(n+1\right)} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)})$$

Combinați termeni similari în n+1-n.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n\left(n+1\right)})$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți n cu n+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n^{2}+n})$$

Dacă F este compusa a două funcții derivabile f\left(u\right) și u=g\left(x\right), mai exact, dacă F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), atunci derivata lui F este derivata lui f în raport cu u înmulțit cu derivata lui g în raport cu x, mai exact, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(n^{2}+n^{1})$$

Derivata unui polinom este suma derivatelor termenilor săi. Derivata unui termen constant este 0. Derivata lui ax^{n} este nax^{n-1}.

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(2n^{2-1}+n^{1-1}\right)$$

Simplificați.

$$\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(-2n^{1}-n^{0}\right)$$

Pentru orice termen t, t^{1}=t.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-n^{0}\right)$$

Pentru orice termen t cu excepția lui 0, t^{0}=1.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-1\right)$$