Rezolvați 1/3x^2+6x=9

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + 6 x = 9$$

Rezolvați pentru x

$$x=6\sqrt{3}-9\approx 1,392304845$$

$$x=-6\sqrt{3}-9\approx -19,392304845$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=9-9$$

Scăderea 9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu \frac{1}{3}, b cu 6 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Înmulțiți -4 cu \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-\frac{4}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Înmulțiți -\frac{4}{3} cu -9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Adunați 36 cu 12.

$$x=\frac{-6±\sqrt{48}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 48.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Înmulțiți 2 cu \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Împărțiți -6+4\sqrt{3} la \frac{2}{3} înmulțind pe -6+4\sqrt{3} cu reciproca lui \frac{2}{3}.

$$x=6\sqrt{3}-9$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{3} din -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Împărțiți -6-4\sqrt{3} la \frac{2}{3} înmulțind pe -6-4\sqrt{3} cu reciproca lui \frac{2}{3}.

$$x=-6\sqrt{3}-9$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Se înmulțesc ambele părți cu 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+6x}{\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Împărțirea la \frac{1}{3} anulează înmulțirea cu \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{6}{\frac{1}{3}}x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Împărțiți 6 la \frac{1}{3} înmulțind pe 6 cu reciproca lui \frac{1}{3}.

$$x^{2}+18x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Împărțiți 9 la \frac{1}{3} înmulțind pe 9 cu reciproca lui \frac{1}{3}.

$$x^{2}+18x=27$$

Împărțiți 18, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 9. Apoi, adunați pătratul lui 9 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+18x+9^{2}=27+9^{2}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$x^{2}+18x+81=27+81$$

Adunați 27 cu 81.

$$x^{2}+18x+81=108$$

Factor x^{2}+18x+81. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}=108$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{108}$$

Simplificați.

$$x+9=6\sqrt{3} x+9=-6\sqrt{3}$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$