Rezolvați 1/2-x-1=1/x-2-1/3x^2-12

$$\frac { 1 } { 2 - x } - 1 = \frac { 1 } { x - 2 } - \frac { 1 } { 3 x ^ { 2 } - 12 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}-1\approx 0,154700538$$

$$x=-\frac{2\sqrt{3}}{3}-1\approx -2,154700538$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al 2-x,x-2,3x^{2}-12.

$$-6-3x+3\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)=3x+6-1$$

Înmulțiți 3 cu -1 pentru a obține -3.

$$-6-3x-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)=3x+6-1$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3 cu x-2.

$$-6-3x+\left(-3x+6\right)\left(x+2\right)=3x+6-1$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3x+6 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$-6-3x-3x^{2}+12=3x+6-1$$

Adunați -6 și 12 pentru a obține 6.

$$6-3x-3x^{2}=3x+6-1$$

Scădeți 1 din 6 pentru a obține 5.

$$6-3x-3x^{2}=3x+5$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$6-3x-3x^{2}-3x=5$$

Combinați -3x cu -3x pentru a obține -6x.

$$6-6x-3x^{2}=5$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$6-6x-3x^{2}-5=0$$

Scădeți 5 din 6 pentru a obține 1.

$$1-6x-3x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}-6x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu -6 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+12}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 36 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{48}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 48.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±4\sqrt{3}}{2\left(-3\right)}$$

Opusul lui -6 este 6.

$$x=\frac{6±4\sqrt{3}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{6±4\sqrt{3}}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±4\sqrt{3}}{-6} atunci când ± este plus. Adunați 6 cu 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{4\sqrt{3}+6}{-6}$$

Împărțiți 6+4\sqrt{3} la -6.

$$x=-\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±4\sqrt{3}}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{3} din 6.

$$x=\frac{6-4\sqrt{3}}{-6}$$

Împărțiți 6-4\sqrt{3} la -6.

$$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{2\sqrt{3}}{3}-1 x=\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al 2-x,x-2,3x^{2}-12.

$$-6-3x+3\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)=3x+6-1$$

Înmulțiți 3 cu -1 pentru a obține -3.

$$-6-3x-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)=3x+6-1$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3 cu x-2.

$$-6-3x+\left(-3x+6\right)\left(x+2\right)=3x+6-1$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3x+6 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$-6-3x-3x^{2}+12=3x+6-1$$

Adunați -6 și 12 pentru a obține 6.

$$6-3x-3x^{2}=3x+6-1$$

Scădeți 1 din 6 pentru a obține 5.

$$6-3x-3x^{2}=3x+5$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$6-3x-3x^{2}-3x=5$$

Combinați -3x cu -3x pentru a obține -6x.

$$6-6x-3x^{2}=5$$

Scădeți 6 din ambele părți.

$$-6x-3x^{2}=5-6$$

Scădeți 6 din 5 pentru a obține -1.

$$-6x-3x^{2}=-1$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-6x=-1$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}-6x}{-3}=-\frac{1}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{-3}\right)x=-\frac{1}{-3}$$

Împărțiți -6 la -3.

$$x^{2}+2x=-\frac{1}{-3}$$

Împărțiți -1 la -3.

$$x^{2}+2x=\frac{1}{3}$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{1}{3}+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x^{2}+2x+1=\frac{1}{3}+1$$

Adunați \frac{1}{3} cu 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{4}{3}$$

Factor x^{2}+2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{4}{3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{3}}$$

Simplificați.

$$x+1=\frac{2\sqrt{3}}{3} x+1=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}-1 x=-\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$$