Rezolvați (x+3)(6-x)/1-4x^2=-1/4

$$\frac { ( x + 3 ) ( 6 - x ) } { 1 - 4 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{155} + 3}{4} \approx 3,862474899$$

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}\approx -2,362474899$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{1}{2},\frac{1}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right), cel mai mic multiplu comun al 1-4x^{2},4.

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu x+3.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4x-12 cu 6-x și a combina termenii similari.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -1 cu 2x-1.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2x+1 cu 2x+1 și a combina termenii similari.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Adăugați 4x^{2} la ambele părți.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

Combinați 4x^{2} cu 4x^{2} pentru a obține 8x^{2}.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$-12x+8x^{2}-72-1=0$$

Scădeți 1 din -72 pentru a obține -73.

$$-12x+8x^{2}-73=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8x^{2}-12x-73=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu -12 și c cu -73 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu -73.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+2336}}{2\times 8}$$

Adunați 144 cu 2336.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{2480}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2480.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 4\sqrt{155}.

$$x=\frac{4\sqrt{155}+12}{16}$$

Împărțiți 12+4\sqrt{155} la 16.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{155} din 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{155}}{16}$$

Împărțiți 12-4\sqrt{155} la 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{1}{2},\frac{1}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right), cel mai mic multiplu comun al 1-4x^{2},4.

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu x+3.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4x-12 cu 6-x și a combina termenii similari.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -1 cu 2x-1.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2x+1 cu 2x+1 și a combina termenii similari.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Adăugați 4x^{2} la ambele părți.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

Combinați 4x^{2} cu 4x^{2} pentru a obține 8x^{2}.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Adăugați 72 la ambele părți.

$$-12x+8x^{2}=1+72$$

Adunați 1 și 72 pentru a obține 73.

$$-12x+8x^{2}=73$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-12x=73$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{73}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{73}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{73}{8}$$

Împărțiți -\frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{73}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{73}{8}+\frac{9}{16}$$

Adunați \frac{73}{8} cu \frac{9}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{155}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{155}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{155}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{155}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{155}}{4}$$

Adunați \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$