Rezolvați frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=a+bsqrt{3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } = a + b \sqrt { 3 }$$

Rezolvați pentru b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a+\sqrt{3}-2\right)}{3}$$

Pași pentru rezolvarea ecuației liniare

Raționalizați numitor de \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Să luăm \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Ridicați \sqrt{3} la pătrat. Ridicați 1 la pătrat.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=a+b\sqrt{3}$$

Scădeți 1 din 3 pentru a obține 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Înmulțiți \sqrt{3}-1 cu \sqrt{3}-1 pentru a obține \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Adunați 3 și 1 pentru a obține 4.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Împărțiți fiecare termen din 4-2\sqrt{3} la 2 pentru a obține 2-\sqrt{3}.

$$2-\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Scădeți a din ambele părți.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

Ecuația este în forma standard.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

Se împart ambele părți la \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Împărțirea la \sqrt{3} anulează înmulțirea cu \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Împărțiți -\sqrt{3}-a+2 la \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

Rezolvați pentru a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$