Rezolvați x+1/2/frac{x-1{2}}-x-1/2/frac{x+1{2}}=2frac{2}{3}

$$\frac { \frac { x + 1 } { 2 } } { \frac { x - 1 } { 2 } } - \frac { \frac { x - 1 } { 2 } } { \frac { x + 1 } { 2 } } = 2 \frac { 2 } { 3 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=2$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3.

$$6\left(x-1\right)^{-1}\times \frac{x+1}{2}-6\left(x+1\right)^{-1}\times \frac{x-1}{2}=2\times 3+2$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 6 și 2.

$$3\left(x+1\right)\left(x-1\right)^{-1}-6\left(x+1\right)^{-1}\times \frac{x-1}{2}=2\times 3+2$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 6 și 2.

$$3\left(x+1\right)\left(x-1\right)^{-1}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{-1}=2\times 3+2$$

Înmulțiți 2 cu 3 pentru a obține 6.

$$3\left(x+1\right)\left(x-1\right)^{-1}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{-1}=6+2$$

Adunați 6 și 2 pentru a obține 8.

$$3\left(x+1\right)\left(x-1\right)^{-1}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{-1}=8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x+1.

$$\left(3x+3\right)\left(x-1\right)^{-1}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{-1}=8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x+3 cu \left(x-1\right)^{-1}.

$$3x\left(x-1\right)^{-1}+3\left(x-1\right)^{-1}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{-1}=8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x-1.

$$3x\left(x-1\right)^{-1}+3\left(x-1\right)^{-1}-\left(3x-3\right)\left(x+1\right)^{-1}=8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-3 cu \left(x+1\right)^{-1}.

$$3x\left(x-1\right)^{-1}+3\left(x-1\right)^{-1}-\left(3x\left(x+1\right)^{-1}-3\left(x+1\right)^{-1}\right)=8$$

Pentru a găsi opusul lui 3x\left(x+1\right)^{-1}-3\left(x+1\right)^{-1}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$3x\left(x-1\right)^{-1}+3\left(x-1\right)^{-1}-3x\left(x+1\right)^{-1}+3\left(x+1\right)^{-1}=8$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$3x\left(x-1\right)^{-1}+3\left(x-1\right)^{-1}-3x\left(x+1\right)^{-1}+3\left(x+1\right)^{-1}-8=0$$

Reordonați termenii.

$$3\times \frac{1}{x-1}x-3\times \frac{1}{x+1}x-8+3\times \frac{1}{x+1}+3\times \frac{1}{x-1}=0$$

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x+1.

$$3\left(x+1\right)\times 1x-3\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-8\right)+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=0$$

Înmulțiți 3 cu 1 pentru a obține 3.

$$3\left(x+1\right)x-3\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-8\right)+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x+1.

$$\left(3x+3\right)x-3\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-8\right)+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x+3 cu x.

$$3x^{2}+3x-3\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-8\right)+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3 cu x-1.

$$3x^{2}+3x+\left(-3x+3\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-8\right)+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3x+3 cu x.

$$3x^{2}+3x-3x^{2}+3x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-8\right)+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=0$$

Combinați 3x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține 0.

$$3x+3x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-8\right)+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=0$$

Combinați 3x cu 3x pentru a obține 6x.

$$6x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-8\right)+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$6x+\left(x^{2}-1\right)\left(-8\right)+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-1 cu -8.

$$6x-8x^{2}+8+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=0$$

Înmulțiți 3 cu 1 pentru a obține 3.

$$6x-8x^{2}+8+3\left(x-1\right)+3\left(x+1\right)\times 1=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x-1.

$$6x-8x^{2}+8+3x-3+3\left(x+1\right)\times 1=0$$

Combinați 6x cu 3x pentru a obține 9x.

$$9x-8x^{2}+8-3+3\left(x+1\right)\times 1=0$$

Scădeți 3 din 8 pentru a obține 5.

$$9x-8x^{2}+5+3\left(x+1\right)\times 1=0$$

Înmulțiți 3 cu 1 pentru a obține 3.

$$9x-8x^{2}+5+3\left(x+1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x+1.

$$9x-8x^{2}+5+3x+3=0$$

Combinați 9x cu 3x pentru a obține 12x.

$$12x-8x^{2}+5+3=0$$

Adunați 5 și 3 pentru a obține 8.

$$12x-8x^{2}+8=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-8x^{2}+12x+8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -8, b cu 12 și c cu 8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-8\right)\times 8}}{2\left(-8\right)}$$

Ridicați 12 la pătrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-8\right)\times 8}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -8.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+32\times 8}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 32 cu 8.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+256}}{2\left(-8\right)}$$

Adunați 144 cu 256.

$$x=\frac{-12±\sqrt{400}}{2\left(-8\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 400.

$$x=\frac{-12±20}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -8.

$$x=\frac{-12±20}{-16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±20}{-16} atunci când ± este plus. Adunați -12 cu 20.

$$x=\frac{8}{-16}$$

Reduceți fracția \frac{8}{-16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±20}{-16} atunci când ± este minus. Scădeți 20 din -12.

$$x=-\frac{32}{-16}$$

Împărțiți -32 la -16.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{2} x=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3.

$$6\left(x-1\right)^{-1}\times \frac{x+1}{2}-6\left(x+1\right)^{-1}\times \frac{x-1}{2}=2\times 3+2$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 6 și 2.

$$3\left(x+1\right)\left(x-1\right)^{-1}-6\left(x+1\right)^{-1}\times \frac{x-1}{2}=2\times 3+2$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 6 și 2.

$$3\left(x+1\right)\left(x-1\right)^{-1}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{-1}=2\times 3+2$$

Înmulțiți 2 cu 3 pentru a obține 6.

$$3\left(x+1\right)\left(x-1\right)^{-1}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{-1}=6+2$$

Adunați 6 și 2 pentru a obține 8.

$$3\left(x+1\right)\left(x-1\right)^{-1}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{-1}=8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x+1.

$$\left(3x+3\right)\left(x-1\right)^{-1}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{-1}=8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x+3 cu \left(x-1\right)^{-1}.

$$3x\left(x-1\right)^{-1}+3\left(x-1\right)^{-1}-3\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{-1}=8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x-1.

$$3x\left(x-1\right)^{-1}+3\left(x-1\right)^{-1}-\left(3x-3\right)\left(x+1\right)^{-1}=8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-3 cu \left(x+1\right)^{-1}.

$$3x\left(x-1\right)^{-1}+3\left(x-1\right)^{-1}-\left(3x\left(x+1\right)^{-1}-3\left(x+1\right)^{-1}\right)=8$$

Pentru a găsi opusul lui 3x\left(x+1\right)^{-1}-3\left(x+1\right)^{-1}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$3x\left(x-1\right)^{-1}+3\left(x-1\right)^{-1}-3x\left(x+1\right)^{-1}+3\left(x+1\right)^{-1}=8$$

Reordonați termenii.

$$3\times \frac{1}{x-1}x-3\times \frac{1}{x+1}x+3\times \frac{1}{x+1}+3\times \frac{1}{x-1}=8$$

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x+1.

$$3\left(x+1\right)\times 1x-3\left(x-1\right)x+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=8\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Înmulțiți 3 cu 1 pentru a obține 3.

$$3\left(x+1\right)x-3\left(x-1\right)x+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=8\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x+1.

$$\left(3x+3\right)x-3\left(x-1\right)x+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=8\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x+3 cu x.

$$3x^{2}+3x-3\left(x-1\right)x+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=8\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3 cu x-1.

$$3x^{2}+3x+\left(-3x+3\right)x+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=8\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -3x+3 cu x.

$$3x^{2}+3x-3x^{2}+3x+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=8\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 3x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține 0.

$$3x+3x+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=8\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 3x cu 3x pentru a obține 6x.

$$6x+3\left(x-1\right)\times 1+3\left(x+1\right)\times 1=8\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Înmulțiți 3 cu 1 pentru a obține 3.

$$6x+3\left(x-1\right)+3\left(x+1\right)\times 1=8\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x-1.

$$6x+3x-3+3\left(x+1\right)\times 1=8\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 6x cu 3x pentru a obține 9x.

$$9x-3+3\left(x+1\right)\times 1=8\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Înmulțiți 3 cu 1 pentru a obține 3.

$$9x-3+3\left(x+1\right)=8\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x+1.

$$9x-3+3x+3=8\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 9x cu 3x pentru a obține 12x.

$$12x-3+3=8\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Adunați -3 și 3 pentru a obține 0.

$$12x=8\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 8 cu x-1.

$$12x=\left(8x-8\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 8x-8 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$12x=8x^{2}-8$$

Scădeți 8x^{2} din ambele părți.

$$12x-8x^{2}=-8$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+12x=-8$$

Se împart ambele părți la -8.

$$\frac{-8x^{2}+12x}{-8}=-\frac{8}{-8}$$

Împărțirea la -8 anulează înmulțirea cu -8.

$$x^{2}+\frac{12}{-8}x=-\frac{8}{-8}$$

Reduceți fracția \frac{12}{-8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{8}{-8}$$

Împărțiți -8 la -8.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=1$$

Împărțiți -\frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=1+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=1+\frac{9}{16}$$

Adunați 1 cu \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}$$

Adunați \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-\frac{1}{2}$$