Resolver y^2-17y+30=0

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

Resolva para y

$$y=2$$

$$y=15$$

Passos com a Fatorização

Para resolver a equação, o fator y^{2}-17y+30 utilizando a fórmula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-17 ab=30$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

A solução é o par que devolve a soma -17.

$$a=-15 b=-2$$

Reescreva a expressão \left(y+a\right)\left(y+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva y-15=0 e y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como y^{2}+ay+by+30. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

A solução é o par que devolve a soma -17.

$$a=-15 b=-2$$

Reescreva y^{2}-17y+30 como \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right).

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

Fator out y no primeiro e -2 no segundo grupo.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

Decomponha o termo comum y-15 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva y-15=0 e y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -17 por b e 30 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Calcule o quadrado de -17.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

Multiplique -4 vezes 30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

Some 289 com -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

O oposto de -17 é 17.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{17±13}{2} quando ± for uma adição. Some 17 com 13.

$$y=\frac{30}{2}$$

Divida 30 por 2.

$$y=15$$

Agora, resolva a equação y=\frac{17±13}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 13 de 17.

$$y=\frac{4}{2}$$

Divida 4 por 2.

$$y=2$$

A equação está resolvida.

$$y=15 y=2$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Subtraia 30 de ambos os lados da equação.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

Subtrair 30 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$y^{2}-17y=-30$$

Divida -17, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{17}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{17}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{17}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

Some -30 com \frac{289}{4}.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

Fatorize y^{2}-17y+\frac{289}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplifique.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

Some \frac{17}{2} a ambos os lados da equação.

$$y=15 y=2$$