Resolver x-2=sqrt{2x+7}

$$x - 2 = \sqrt { 2 x + 7 }$$

Resolva para x

$$x=2\sqrt{3}+3\approx 6,464101615$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+7}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(\sqrt{2x+7}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{2x+7} elevado a 2 e obtenha 2x+7.

$$x^{2}-4x+4=2x+7$$

Subtraia 2x de ambos os lados.

$$x^{2}-4x+4-2x=7$$

Combine -4x e -2x para obter -6x.

$$x^{2}-6x+4=7$$

Subtraia 7 de ambos os lados.

$$x^{2}-6x+4-7=0$$

Subtraia 7 de 4 para obter -3.

$$x^{2}-6x-3=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -6 por b e -3 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-3\right)}}{2}$$

Calcule o quadrado de -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-3\right)}}{2}$$

Multiplique -4 vezes -3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+12}}{2}$$

Some 36 com 12.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{48}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 48.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±4\sqrt{3}}{2}$$

O oposto de -6 é 6.

$$x=\frac{6±4\sqrt{3}}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{6±4\sqrt{3}}{2} quando ± for uma adição. Some 6 com 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{4\sqrt{3}+6}{2}$$

Divida 6+4\sqrt{3} por 2.

$$x=2\sqrt{3}+3$$

Agora, resolva a equação x=\frac{6±4\sqrt{3}}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 4\sqrt{3} de 6.

$$x=\frac{6-4\sqrt{3}}{2}$$

Divida 6-4\sqrt{3} por 2.

$$x=3-2\sqrt{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=2\sqrt{3}+3 x=3-2\sqrt{3}$$

Substitua 2\sqrt{3}+3 por x na equação x-2=\sqrt{2x+7}.

$$2\sqrt{3}+3-2=\sqrt{2\left(2\sqrt{3}+3\right)+7}$$

Simplifique. O valor x=2\sqrt{3}+3 satisfaz a equação.

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}+1=2\times 3^{\frac{1}{2}}+1$$

Substitua 3-2\sqrt{3} por x na equação x-2=\sqrt{2x+7}.

$$3-2\sqrt{3}-2=\sqrt{2\left(3-2\sqrt{3}\right)+7}$$

Simplifique. O valor x=3-2\sqrt{3} não satisfaz a equação porque o lado esquerdo e o lado direito têm sinais opostos.

$$1-2\times 3^{\frac{1}{2}}=2\times 3^{\frac{1}{2}}-1$$

A equação x-2=\sqrt{2x+7} tem uma solução única.

$$x=2\sqrt{3}+3$$