Resolver x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Resolva para x

$$x=-40$$

$$x=9$$

Passos com a Fatorização

Para resolver a equação, o fator x^{2}+31x-360 utilizando a fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=31 ab=-360$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

A solução é o par que devolve a soma 31.

$$a=-9 b=40$$

Reescreva a expressão \left(x+a\right)\left(x+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-9=0 e x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-360. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

A solução é o par que devolve a soma 31.

$$a=-9 b=40$$

Reescreva x^{2}+31x-360 como \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

Fator out x no primeiro e 40 no segundo grupo.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Decomponha o termo comum x-9 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-9=0 e x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, 31 por b e -360 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

Calcule o quadrado de 31.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Multiplique -4 vezes -360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Some 961 com 1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 2401.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-31±49}{2} quando ± for uma adição. Some -31 com 49.

$$x=\frac{18}{2}$$

Divida 18 por 2.

$$x=9$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-31±49}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 49 de -31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

Divida -80 por 2.

$$x=-40$$

A equação está resolvida.

$$x=9 x=-40$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Some 360 a ambos os lados da equação.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

Subtrair -360 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

Subtraia -360 de 0.

$$x^{2}+31x=360$$

Divida 31, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{31}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{31}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{31}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Some 360 com \frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Fatorize x^{2}+31x+\frac{961}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Subtraia \frac{31}{2} de ambos os lados da equação.

$$x=9 x=-40$$