Resolver x^2+20x+75=0

$$x ^ { 2 } + 20 x + 75 = 0$$

Resolva para x

$$x=-15$$

$$x=-5$$

Passos com a Fatorização

Para resolver a equação, o fator x^{2}+20x+75 utilizando a fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=20 ab=75$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

A solução é o par que devolve a soma 20.

$$a=5 b=15$$

Reescreva a expressão \left(x+a\right)\left(x+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x+5=0 e x+15=0.

$$x=-5 x=-15$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx+75. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=20 ab=1\times 75=75$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

A solução é o par que devolve a soma 20.

$$a=5 b=15$$

Reescreva x^{2}+20x+75 como \left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right)$$

Fator out x no primeiro e 15 no segundo grupo.

$$x\left(x+5\right)+15\left(x+5\right)$$

Decomponha o termo comum x+5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x+5=0 e x+15=0.

$$x=-5 x=-15$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x^{2}+20x+75=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, 20 por b e 75 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 75}}{2}$$

Calcule o quadrado de 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 75}}{2}$$

Multiplique -4 vezes 75.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-300}}{2}$$

Some 400 com -300.

$$x=\frac{-20±\sqrt{100}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 100.

$$x=\frac{-20±10}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-20±10}{2} quando ± for uma adição. Some -20 com 10.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Divida -10 por 2.

$$x=-5$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-20±10}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 10 de -20.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Divida -30 por 2.

$$x=-15$$

A equação está resolvida.

$$x=-5 x=-15$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+20x+75=0$$

Subtraia 75 de ambos os lados da equação.

$$x^{2}+20x+75-75=-75$$

Subtrair 75 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$x^{2}+20x=-75$$

Divida 20, o coeficiente do termo x, 2 para obter 10. Em seguida, adicione o quadrado de 10 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+20x+10^{2}=-75+10^{2}$$

Calcule o quadrado de 10.

$$x^{2}+20x+100=-75+100$$

Some -75 com 100.

$$x^{2}+20x+100=25$$

Fatorize x^{2}+20x+100. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+10\right)^{2}=25$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplifique.

$$x+10=5 x+10=-5$$

Subtraia 10 de ambos os lados da equação.

$$x=-5 x=-15$$