Resolver x+1=sqrt{x+2}

$$x + 1 = \sqrt { x + 2 }$$

Resolva para x

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,618033989$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x+2} elevado a 2 e obtenha x+2.

$$x^{2}+2x+1=x+2$$

Subtraia x de ambos os lados.

$$x^{2}+2x+1-x=2$$

Combine 2x e -x para obter x.

$$x^{2}+x+1=2$$

Subtraia 2 de ambos os lados.

$$x^{2}+x+1-2=0$$

Subtraia 2 de 1 para obter -1.

$$x^{2}+x-1=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, 1 por b e -1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Calcule o quadrado de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2}$$

Some 1 com 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2} quando ± for uma adição. Some -1 com \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia \sqrt{5} de -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$

Substitua \frac{\sqrt{5}-1}{2} por x na equação x+1=\sqrt{x+2}.

$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}+2}$$

Simplifique. O valor x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} satisfaz a equação.

$$\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Substitua \frac{-\sqrt{5}-1}{2} por x na equação x+1=\sqrt{x+2}.

$$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+1=\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+2}$$

Simplifique. O valor x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} não satisfaz a equação porque o lado esquerdo e o lado direito têm sinais opostos.

$$-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}=-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)$$

A equação x+1=\sqrt{x+2} tem uma solução única.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$