Resolver t^2-16t+48=0

$$t ^ { 2 } - 16 t + 48 = 0$$

Resolva para t

$$t=4$$

$$t=12$$

Passos com a Fatorização

Para resolver a equação, o fator t^{2}-16t+48 utilizando a fórmula t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-16 ab=48$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

A solução é o par que devolve a soma -16.

$$a=-12 b=-4$$

Reescreva a expressão \left(t+a\right)\left(t+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(t-12\right)\left(t-4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva t-12=0 e t-4=0.

$$t=12 t=4$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como t^{2}+at+bt+48. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-16 ab=1\times 48=48$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

A solução é o par que devolve a soma -16.

$$a=-12 b=-4$$

Reescreva t^{2}-16t+48 como \left(t^{2}-12t\right)+\left(-4t+48\right).

$$\left(t^{2}-12t\right)+\left(-4t+48\right)$$

Fator out t no primeiro e -4 no segundo grupo.

$$t\left(t-12\right)-4\left(t-12\right)$$

Decomponha o termo comum t-12 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(t-12\right)\left(t-4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva t-12=0 e t-4=0.

$$t=12 t=4$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$t^{2}-16t+48=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -16 por b e 48 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 48}}{2}$$

Calcule o quadrado de -16.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 48}}{2}$$

Multiplique -4 vezes 48.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-192}}{2}$$

Some 256 com -192.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 64.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±8}{2}$$

O oposto de -16 é 16.

$$t=\frac{16±8}{2}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{16±8}{2} quando ± for uma adição. Some 16 com 8.

$$t=\frac{24}{2}$$

Divida 24 por 2.

$$t=12$$

Agora, resolva a equação t=\frac{16±8}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 8 de 16.

$$t=\frac{8}{2}$$

Divida 8 por 2.

$$t=4$$

A equação está resolvida.

$$t=12 t=4$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-16t+48=0$$

Subtraia 48 de ambos os lados da equação.

$$t^{2}-16t+48-48=-48$$

Subtrair 48 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$t^{2}-16t=-48$$

Divida -16, o coeficiente do termo x, 2 para obter -8. Em seguida, adicione o quadrado de -8 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}-16t+\left(-8\right)^{2}=-48+\left(-8\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -8.

$$t^{2}-16t+64=-48+64$$

Some -48 com 64.

$$t^{2}-16t+64=16$$

Fatorize t^{2}-16t+64. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-8\right)^{2}=16$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t-8\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplifique.

$$t-8=4 t-8=-4$$

Some 8 a ambos os lados da equação.

$$t=12 t=4$$