Resolver n^2-n=90

$$n ^ { 2 } - n = 90$$

Resolva para n

$$n=-9$$

$$n=10$$

Passos com a Fatorização

Subtraia 90 de ambos os lados.

$$n^{2}-n-90=0$$

Para resolver a equação, o fator n^{2}-n-90 utilizando a fórmula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=-90$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -1.

$$a=-10 b=9$$

Reescreva a expressão \left(n+a\right)\left(n+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(n-10\right)\left(n+9\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva n-10=0 e n+9=0.

$$n=10 n=-9$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 90 de ambos os lados.

$$n^{2}-n-90=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como n^{2}+an+bn-90. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=1\left(-90\right)=-90$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -1.

$$a=-10 b=9$$

Reescreva n^{2}-n-90 como \left(n^{2}-10n\right)+\left(9n-90\right).

$$\left(n^{2}-10n\right)+\left(9n-90\right)$$

Fator out n no primeiro e 9 no segundo grupo.

$$n\left(n-10\right)+9\left(n-10\right)$$

Decomponha o termo comum n-10 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(n-10\right)\left(n+9\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva n-10=0 e n+9=0.

$$n=10 n=-9$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$n^{2}-n=90$$

Subtraia 90 de ambos os lados da equação.

$$n^{2}-n-90=90-90$$

Subtrair 90 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$n^{2}-n-90=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -1 por b e -90 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-90\right)}}{2}$$

Multiplique -4 vezes -90.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2}$$

Some 1 com 360.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 361.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±19}{2}$$

O oposto de -1 é 1.

$$n=\frac{1±19}{2}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{1±19}{2} quando ± for uma adição. Some 1 com 19.

$$n=\frac{20}{2}$$

Divida 20 por 2.

$$n=10$$

Agora, resolva a equação n=\frac{1±19}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 19 de 1.

$$n=-\frac{18}{2}$$

Divida -18 por 2.

$$n=-9$$

A equação está resolvida.

$$n=10 n=-9$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n=90$$

Divida -1, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=90+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=90+\frac{1}{4}$$

Some 90 com \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{361}{4}$$

Fatorize n^{2}-n+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Simplifique.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{19}{2}$$

Some \frac{1}{2} a ambos os lados da equação.

$$n=10 n=-9$$