Resolver n^2-25n+144=0

$$n ^ { 2 } - 25 n + 144 = 0$$

Resolva para n

$$n=9$$

$$n=16$$

Passos com a Fatorização

Para resolver a equação, o fator n^{2}-25n+144 utilizando a fórmula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-25 ab=144$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

A solução é o par que devolve a soma -25.

$$a=-16 b=-9$$

Reescreva a expressão \left(n+a\right)\left(n+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(n-16\right)\left(n-9\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva n-16=0 e n-9=0.

$$n=16 n=9$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como n^{2}+an+bn+144. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-25 ab=1\times 144=144$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

A solução é o par que devolve a soma -25.

$$a=-16 b=-9$$

Reescreva n^{2}-25n+144 como \left(n^{2}-16n\right)+\left(-9n+144\right).

$$\left(n^{2}-16n\right)+\left(-9n+144\right)$$

Fator out n no primeiro e -9 no segundo grupo.

$$n\left(n-16\right)-9\left(n-16\right)$$

Decomponha o termo comum n-16 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(n-16\right)\left(n-9\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva n-16=0 e n-9=0.

$$n=16 n=9$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$n^{2}-25n+144=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -25 por b e 144 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 144}}{2}$$

Calcule o quadrado de -25.

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 144}}{2}$$

Multiplique -4 vezes 144.

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-576}}{2}$$

Some 625 com -576.

$$n=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 49.

$$n=\frac{-\left(-25\right)±7}{2}$$

O oposto de -25 é 25.

$$n=\frac{25±7}{2}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{25±7}{2} quando ± for uma adição. Some 25 com 7.

$$n=\frac{32}{2}$$

Divida 32 por 2.

$$n=16$$

Agora, resolva a equação n=\frac{25±7}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 7 de 25.

$$n=\frac{18}{2}$$

Divida 18 por 2.

$$n=9$$

A equação está resolvida.

$$n=16 n=9$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-25n+144=0$$

Subtraia 144 de ambos os lados da equação.

$$n^{2}-25n+144-144=-144$$

Subtrair 144 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$n^{2}-25n=-144$$

Divida -25, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{25}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{25}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$n^{2}-25n+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-144+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{25}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$n^{2}-25n+\frac{625}{4}=-144+\frac{625}{4}$$

Some -144 com \frac{625}{4}.

$$n^{2}-25n+\frac{625}{4}=\frac{49}{4}$$

Fatorize n^{2}-25n+\frac{625}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(n-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplifique.

$$n-\frac{25}{2}=\frac{7}{2} n-\frac{25}{2}=-\frac{7}{2}$$

Some \frac{25}{2} a ambos os lados da equação.

$$n=16 n=9$$