Resolver 9x^2-19x-24=0

$$9 x ^ { 2 } - 19 x - 24 = 0$$

Resolva para x

$$x=-\frac{8}{9}\approx -0,888888889$$

$$x=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 9x^{2}+ax+bx-24. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-19 ab=9\left(-24\right)=-216$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -216.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

A solução é o par que devolve a soma -19.

$$a=-27 b=8$$

Reescreva 9x^{2}-19x-24 como \left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right)$$

Fator out 9x no primeiro e 8 no segundo grupo.

$$9x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Decomponha o termo comum x-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(9x+8\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-3=0 e 9x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 9 por a, -19 por b e -24 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Calcule o quadrado de -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Multiplique -4 vezes 9.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Multiplique -36 vezes -24.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+864}}{2\times 9}$$

Some 361 com 864.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1225}}{2\times 9}$$

Calcule a raiz quadrada de 1225.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±35}{2\times 9}$$

O oposto de -19 é 19.

$$x=\frac{19±35}{2\times 9}$$

Multiplique 2 vezes 9.

$$x=\frac{19±35}{18}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{19±35}{18} quando ± for uma adição. Some 19 com 35.

$$x=\frac{54}{18}$$

Divida 54 por 18.

$$x=3$$

Agora, resolva a equação x=\frac{19±35}{18} quando ± for uma subtração. Subtraia 35 de 19.

$$x=-\frac{16}{18}$$

Reduza a fração \frac{-16}{18} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{8}{9}$$

A equação está resolvida.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

Some 24 a ambos os lados da equação.

$$9x^{2}-19x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Subtrair -24 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$9x^{2}-19x=-\left(-24\right)$$

Subtraia -24 de 0.

$$9x^{2}-19x=24$$

Divida ambos os lados por 9.

$$\frac{9x^{2}-19x}{9}=\frac{24}{9}$$

Dividir por 9 anula a multiplicação por 9.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{24}{9}$$

Reduza a fração \frac{24}{9} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{8}{3}$$

Divida -\frac{19}{9}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{19}{18}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{19}{18} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{19}{18}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{8}{3}+\frac{361}{324}$$

Some \frac{8}{3} com \frac{361}{324} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{1225}{324}$$

Fatorize x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{1225}{324}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{324}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{19}{18}=\frac{35}{18} x-\frac{19}{18}=-\frac{35}{18}$$

Some \frac{19}{18} a ambos os lados da equação.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$