Resolver 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Resolva para x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 25 de ambos os lados.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Subtraia 25 de 9 para obter -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 9x^{2}+ax+bx-16. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

A solução é o par que devolve a soma 7.

$$a=-9 b=16$$

Reescreva 9x^{2}+7x-16 como \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Fator out 9x no primeiro e 16 no segundo grupo.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Decomponha o termo comum x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-1=0 e 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Subtraia 25 de ambos os lados da equação.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Subtrair 25 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Subtraia 25 de 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 9 por a, 7 por b e -16 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Calcule o quadrado de 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Multiplique -4 vezes 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Multiplique -36 vezes -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Some 49 com 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Calcule a raiz quadrada de 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Multiplique 2 vezes 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-7±25}{18} quando ± for uma adição. Some -7 com 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Divida 18 por 18.

$$x=1$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-7±25}{18} quando ± for uma subtração. Subtraia 25 de -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Reduza a fração \frac{-32}{18} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{16}{9}$$

A equação está resolvida.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Subtraia 9 de ambos os lados da equação.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Subtrair 9 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Subtraia 9 de 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Divida ambos os lados por 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Dividir por 9 anula a multiplicação por 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Divida \frac{7}{9}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{7}{18}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{7}{18} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{7}{18}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Some \frac{16}{9} com \frac{49}{324} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Fatorize x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Subtraia \frac{7}{18} de ambos os lados da equação.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$