Resolver 7+(x-4)^2=11

$$7 + ( x - 4 ) ^ { 2 } = 11$$

Resolva para x

$$x=6$$

$$x=2$$

Passos com a Fatorização

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-4\right)^{2}.

$$7+x^{2}-8x+16=11$$

Some 7 e 16 para obter 23.

$$23+x^{2}-8x=11$$

Subtraia 11 de ambos os lados.

$$23+x^{2}-8x-11=0$$

Subtraia 11 de 23 para obter 12.

$$12+x^{2}-8x=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Para resolver a equação, o fator x^{2}-8x+12 utilizando a fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-8 ab=12$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

A solução é o par que devolve a soma -8.

$$a=-6 b=-2$$

Reescreva a expressão \left(x+a\right)\left(x+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-6=0 e x-2=0.

$$x=6 x=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-4\right)^{2}.

$$7+x^{2}-8x+16=11$$

Some 7 e 16 para obter 23.

$$23+x^{2}-8x=11$$

Subtraia 11 de ambos os lados.

$$23+x^{2}-8x-11=0$$

Subtraia 11 de 23 para obter 12.

$$12+x^{2}-8x=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx+12. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

A solução é o par que devolve a soma -8.

$$a=-6 b=-2$$

Reescreva x^{2}-8x+12 como \left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right)$$

Fator out x no primeiro e -2 no segundo grupo.

$$x\left(x-6\right)-2\left(x-6\right)$$

Decomponha o termo comum x-6 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-6=0 e x-2=0.

$$x=6 x=2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-4\right)^{2}.

$$7+x^{2}-8x+16=11$$

Some 7 e 16 para obter 23.

$$23+x^{2}-8x=11$$

Subtraia 11 de ambos os lados.

$$23+x^{2}-8x-11=0$$

Subtraia 11 de 23 para obter 12.

$$12+x^{2}-8x=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -8 por b e 12 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

Calcule o quadrado de -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

Multiplique -4 vezes 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

Some 64 com -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

O oposto de -8 é 8.

$$x=\frac{8±4}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{8±4}{2} quando ± for uma adição. Some 8 com 4.

$$x=\frac{12}{2}$$

Divida 12 por 2.

$$x=6$$

Agora, resolva a equação x=\frac{8±4}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 4 de 8.

$$x=\frac{4}{2}$$

Divida 4 por 2.

$$x=2$$

A equação está resolvida.

$$x=6 x=2$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-4\right)^{2}.

$$7+x^{2}-8x+16=11$$

Some 7 e 16 para obter 23.

$$23+x^{2}-8x=11$$

Subtraia 23 de ambos os lados.

$$x^{2}-8x=11-23$$

Subtraia 23 de 11 para obter -12.

$$x^{2}-8x=-12$$

Divida -8, o coeficiente do termo x, 2 para obter -4. Em seguida, adicione o quadrado de -4 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -4.

$$x^{2}-8x+16=-12+16$$

Some -12 com 16.

$$x^{2}-8x+16=4$$

Fatorize x^{2}-8x+16. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=4$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplifique.

$$x-4=2 x-4=-2$$

Some 4 a ambos os lados da equação.

$$x=6 x=2$$