Resolver 6x^2-x=40

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

Resolva para x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 40 de ambos os lados.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 6x^{2}+ax+bx-40. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -1.

$$a=-16 b=15$$

Reescreva 6x^{2}-x-40 como \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

Fator out 2x no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-8 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x-8=0 e 2x+5=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$6x^{2}-x=40$$

Subtraia 40 de ambos os lados da equação.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

Subtrair 40 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 6 por a, -1 por b e -40 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Multiplique -4 vezes 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Multiplique -24 vezes -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

Some 1 com 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Calcule a raiz quadrada de 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

O oposto de -1 é 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

Multiplique 2 vezes 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±31}{12} quando ± for uma adição. Some 1 com 31.

$$x=\frac{32}{12}$$

Reduza a fração \frac{32}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=\frac{8}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±31}{12} quando ± for uma subtração. Subtraia 31 de 1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Reduza a fração \frac{-30}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=40$$

Divida ambos os lados por 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

Dividir por 6 anula a multiplicação por 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

Reduza a fração \frac{40}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

Divida -\frac{1}{6}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{12}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{12} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{12}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

Some \frac{20}{3} com \frac{1}{144} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

Fatorize x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

Some \frac{1}{12} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$