Resolver 6a^2+7a-20

$$6 a ^ { 2 } + 7 a - 20$$

Fatorizar

$$\left(3a-4\right)\left(2a+5\right)$$

Passos Para a Resolução

Fatorize a expressão ao agrupar. Em primeiro lugar, a expressão tem de ser reescrita como 6a^{2}+pa+qa-20. Para encontrar p e q, criar um sistema a ser resolvido.

$$p+q=7 pq=6\left(-20\right)=-120$$

Uma vez que pq é negativo, p e q têm os sinais opostos. Uma vez que p+q é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

A solução é o par que devolve a soma 7.

$$p=-8 q=15$$

Reescreva 6a^{2}+7a-20 como \left(6a^{2}-8a\right)+\left(15a-20\right).

$$\left(6a^{2}-8a\right)+\left(15a-20\right)$$

Fator out 2a no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$2a\left(3a-4\right)+5\left(3a-4\right)$$

Decomponha o termo comum 3a-4 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3a-4\right)\left(2a+5\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$6a^{2}+7a-20=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$a=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Calcule o quadrado de 7.

$$a=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Multiplique -4 vezes 6.

$$a=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Multiplique -24 vezes -20.

$$a=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 6}$$

Some 49 com 480.

$$a=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Calcule a raiz quadrada de 529.

$$a=\frac{-7±23}{2\times 6}$$

Multiplique 2 vezes 6.

$$a=\frac{-7±23}{12}$$

Agora, resolva a equação a=\frac{-7±23}{12} quando ± for uma adição. Some -7 com 23.

$$a=\frac{16}{12}$$

Reduza a fração \frac{16}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$a=\frac{4}{3}$$

Agora, resolva a equação a=\frac{-7±23}{12} quando ± for uma subtração. Subtraia 23 de -7.

$$a=-\frac{30}{12}$$

Reduza a fração \frac{-30}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$a=-\frac{5}{2}$$

Fatorize a expressão original através de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitua \frac{4}{3} por x_{1} e -\frac{5}{2} por x_{2}.

$$6a^{2}+7a-20=6\left(a-\frac{4}{3}\right)\left(a-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Simplifique todas as expressões de p-\left(-q\right) para p+q.

$$6a^{2}+7a-20=6\left(a-\frac{4}{3}\right)\left(a+\frac{5}{2}\right)$$

Subtraia \frac{4}{3} de a ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$6a^{2}+7a-20=6\times \frac{3a-4}{3}\left(a+\frac{5}{2}\right)$$

Some \frac{5}{2} com a ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$6a^{2}+7a-20=6\times \frac{3a-4}{3}\times \frac{2a+5}{2}$$

Multiplique \frac{3a-4}{3} vezes \frac{2a+5}{2} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$6a^{2}+7a-20=6\times \frac{\left(3a-4\right)\left(2a+5\right)}{3\times 2}$$

Multiplique 3 vezes 2.

$$6a^{2}+7a-20=6\times \frac{\left(3a-4\right)\left(2a+5\right)}{6}$$

Anule o maior fator comum 6 em 6 e 6.

$$6a^{2}+7a-20=\left(3a-4\right)\left(2a+5\right)$$

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$$\left(3a-4\right)\left(2a+5\right)$$