Resolver 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 6x^{2}+ax+bx-7. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

A solução é o par que devolve a soma 19.

$$a=-2 b=21$$

Reescreva 6x^{2}+19x-7 como \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Fator out 2x no primeiro e 7 no segundo grupo.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x-1=0 e 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 6 por a, 19 por b e -7 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Calcule o quadrado de 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multiplique -4 vezes 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multiplique -24 vezes -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Some 361 com 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Calcule a raiz quadrada de 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Multiplique 2 vezes 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-19±23}{12} quando ± for uma adição. Some -19 com 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Reduza a fração \frac{4}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-19±23}{12} quando ± for uma subtração. Subtraia 23 de -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Reduza a fração \frac{-42}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Some 7 a ambos os lados da equação.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Subtrair -7 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Subtraia -7 de 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Divida ambos os lados por 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

Dividir por 6 anula a multiplicação por 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Divida \frac{19}{6}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{19}{12}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{19}{12} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{19}{12}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Some \frac{7}{6} com \frac{361}{144} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Fatorize x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Subtraia \frac{19}{12} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$