Resolver 6x^2+11x-10=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x-10=0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 6x^{2}+ax+bx-10. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=11 ab=6\left(-10\right)=-60$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

A solução é o par que devolve a soma 11.

$$a=-4 b=15$$

Reescreva 6x^{2}+11x-10 como \left(6x^{2}-4x\right)+\left(15x-10\right).

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(15x-10\right)$$

Fator out 2x no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$2x\left(3x-2\right)+5\left(3x-2\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x-2=0 e 2x+5=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$6x^{2}+11x-10=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 6 por a, 11 por b e -10 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Calcule o quadrado de 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Multiplique -4 vezes 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Multiplique -24 vezes -10.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\times 6}$$

Some 121 com 240.

$$x=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Calcule a raiz quadrada de 361.

$$x=\frac{-11±19}{2\times 6}$$

Multiplique 2 vezes 6.

$$x=\frac{-11±19}{12}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-11±19}{12} quando ± for uma adição. Some -11 com 19.

$$x=\frac{8}{12}$$

Reduza a fração \frac{8}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-11±19}{12} quando ± for uma subtração. Subtraia 19 de -11.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Reduza a fração \frac{-30}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x-10=0$$

Some 10 a ambos os lados da equação.

$$6x^{2}+11x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Subtrair -10 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$6x^{2}+11x=-\left(-10\right)$$

Subtraia -10 de 0.

$$6x^{2}+11x=10$$

Divida ambos os lados por 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=\frac{10}{6}$$

Dividir por 6 anula a multiplicação por 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{10}{6}$$

Reduza a fração \frac{10}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{5}{3}$$

Divida \frac{11}{6}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{11}{12}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{11}{12} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{11}{12}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{5}{3}+\frac{121}{144}$$

Some \frac{5}{3} com \frac{121}{144} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{361}{144}$$

Fatorize x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{19}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{19}{12}$$

Subtraia \frac{11}{12} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{5}{2}$$