Resolver 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 5x^{2}+ax+bx-16. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

A solução é o par que devolve a soma -2.

$$a=-10 b=8$$

Reescreva 5x^{2}-2x-16 como \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

Fator out 5x no primeiro e 8 no segundo grupo.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Decomponha o termo comum x-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-2=0 e 5x+8=0.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 5 por a, -2 por b e -16 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Calcule o quadrado de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Multiplique -4 vezes 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Multiplique -20 vezes -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Some 4 com 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Calcule a raiz quadrada de 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

O oposto de -2 é 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Multiplique 2 vezes 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{2±18}{10} quando ± for uma adição. Some 2 com 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

Divida 20 por 10.

$$x=2$$

Agora, resolva a equação x=\frac{2±18}{10} quando ± for uma subtração. Subtraia 18 de 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Reduza a fração \frac{-16}{10} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

A equação está resolvida.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Some 16 a ambos os lados da equação.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Subtrair -16 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Subtraia -16 de 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Divida ambos os lados por 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

Dividir por 5 anula a multiplicação por 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Divida -\frac{2}{5}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{5}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{5} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{5}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

Some \frac{16}{5} com \frac{1}{25} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Fatorize x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Some \frac{1}{5} a ambos os lados da equação.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$