Resolver 5x^2+52x+20=0

$$5 x ^ { 2 } + 52 x + 20 = 0$$

Resolva para x

$$x=-10$$

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 5x^{2}+ax+bx+20. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=52 ab=5\times 20=100$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

A solução é o par que devolve a soma 52.

$$a=2 b=50$$

Reescreva 5x^{2}+52x+20 como \left(5x^{2}+2x\right)+\left(50x+20\right).

$$\left(5x^{2}+2x\right)+\left(50x+20\right)$$

Fator out x no primeiro e 10 no segundo grupo.

$$x\left(5x+2\right)+10\left(5x+2\right)$$

Decomponha o termo comum 5x+2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(5x+2\right)\left(x+10\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 5x+2=0 e x+10=0.

$$x=-\frac{2}{5} x=-10$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$5x^{2}+52x+20=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 5 por a, 52 por b e 20 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-52±\sqrt{52^{2}-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Calcule o quadrado de 52.

$$x=\frac{-52±\sqrt{2704-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Multiplique -4 vezes 5.

$$x=\frac{-52±\sqrt{2704-20\times 20}}{2\times 5}$$

Multiplique -20 vezes 20.

$$x=\frac{-52±\sqrt{2704-400}}{2\times 5}$$

Some 2704 com -400.

$$x=\frac{-52±\sqrt{2304}}{2\times 5}$$

Calcule a raiz quadrada de 2304.

$$x=\frac{-52±48}{2\times 5}$$

Multiplique 2 vezes 5.

$$x=\frac{-52±48}{10}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-52±48}{10} quando ± for uma adição. Some -52 com 48.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Reduza a fração \frac{-4}{10} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-52±48}{10} quando ± for uma subtração. Subtraia 48 de -52.

$$x=-\frac{100}{10}$$

Divida -100 por 10.

$$x=-10$$

A equação está resolvida.

$$x=-\frac{2}{5} x=-10$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+52x+20=0$$

Subtraia 20 de ambos os lados da equação.

$$5x^{2}+52x+20-20=-20$$

Subtrair 20 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$5x^{2}+52x=-20$$

Divida ambos os lados por 5.

$$\frac{5x^{2}+52x}{5}=-\frac{20}{5}$$

Dividir por 5 anula a multiplicação por 5.

$$x^{2}+\frac{52}{5}x=-\frac{20}{5}$$

Divida -20 por 5.

$$x^{2}+\frac{52}{5}x=-4$$

Divida \frac{52}{5}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{26}{5}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{26}{5} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{52}{5}x+\left(\frac{26}{5}\right)^{2}=-4+\left(\frac{26}{5}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{26}{5}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{52}{5}x+\frac{676}{25}=-4+\frac{676}{25}$$

Some -4 com \frac{676}{25}.

$$x^{2}+\frac{52}{5}x+\frac{676}{25}=\frac{576}{25}$$

Fatorize x^{2}+\frac{52}{5}x+\frac{676}{25}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{26}{5}\right)^{2}=\frac{576}{25}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{26}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{576}{25}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{26}{5}=\frac{24}{5} x+\frac{26}{5}=-\frac{24}{5}$$

Subtraia \frac{26}{5} de ambos os lados da equação.

$$x=-\frac{2}{5} x=-10$$