Resolver 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Resolva para t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15,769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1,369714114$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 5 por a, -72 por b e -108 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Calcule o quadrado de -72.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Multiplique -4 vezes 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Multiplique -20 vezes -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Some 5184 com 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Calcule a raiz quadrada de 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

O oposto de -72 é 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Multiplique 2 vezes 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} quando ± for uma adição. Some 72 com 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

Divida 72+12\sqrt{51} por 10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} quando ± for uma subtração. Subtraia 12\sqrt{51} de 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

Divida 72-12\sqrt{51} por 10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

A equação está resolvida.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Some 108 a ambos os lados da equação.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Subtrair -108 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

Subtraia -108 de 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Divida ambos os lados por 5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

Dividir por 5 anula a multiplicação por 5.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Divida -\frac{72}{5}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{36}{5}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{36}{5} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{36}{5}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Some \frac{108}{5} com \frac{1296}{25} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Fatorize t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Simplifique.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Some \frac{36}{5} a ambos os lados da equação.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$