Resolver 5(x+2)^2=(7x+3)(x+2)

$$5 ( x + 2 ) ^ { 2 } = ( 7 x + 3 ) ( x + 2 )$$

Resolva para x

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

$$x=-2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5 por x^{2}+4x+4.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 7x+3 por x+2 e combinar termos semelhantes.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Subtraia 7x^{2} de ambos os lados.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

Combine 5x^{2} e -7x^{2} para obter -2x^{2}.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Subtraia 17x de ambos os lados.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

Combine 20x e -17x para obter 3x.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Subtraia 6 de ambos os lados.

$$-2x^{2}+3x+20-6=0$$

Subtraia 6 de 20 para obter 14.

$$-2x^{2}+3x+14=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -2x^{2}+ax+bx+14. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=3 ab=-2\times 14=-28$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

A solução é o par que devolve a soma 3.

$$a=7 b=-4$$

Reescreva -2x^{2}+3x+14 como \left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-4x+14\right).

$$\left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-4x+14\right)$$

Fator out -x no primeiro e -2 no segundo grupo.

$$-x\left(2x-7\right)-2\left(2x-7\right)$$

Decomponha o termo comum 2x-7 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x-7\right)\left(-x-2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 2x-7=0 e -x-2=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5 por x^{2}+4x+4.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 7x+3 por x+2 e combinar termos semelhantes.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Subtraia 7x^{2} de ambos os lados.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

Combine 5x^{2} e -7x^{2} para obter -2x^{2}.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Subtraia 17x de ambos os lados.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

Combine 20x e -17x para obter 3x.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Subtraia 6 de ambos os lados.

$$-2x^{2}+3x+20-6=0$$

Subtraia 6 de 20 para obter 14.

$$-2x^{2}+3x+14=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -2 por a, 3 por b e 14 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-2\right)\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Calcule o quadrado de 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-2\right)\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique -4 vezes -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+8\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique 8 vezes 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\left(-2\right)}$$

Some 9 com 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\left(-2\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique 2 vezes -2.

$$x=\frac{-3±11}{-4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-3±11}{-4} quando ± for uma adição. Some -3 com 11.

$$x=\frac{8}{-4}$$

Divida 8 por -4.

$$x=-2$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-3±11}{-4} quando ± for uma subtração. Subtraia 11 de -3.

$$x=-\frac{14}{-4}$$

Reduza a fração \frac{-14}{-4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=-2 x=\frac{7}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5 por x^{2}+4x+4.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 7x+3 por x+2 e combinar termos semelhantes.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Subtraia 7x^{2} de ambos os lados.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

Combine 5x^{2} e -7x^{2} para obter -2x^{2}.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Subtraia 17x de ambos os lados.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

Combine 20x e -17x para obter 3x.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Subtraia 20 de ambos os lados.

$$-2x^{2}+3x=6-20$$

Subtraia 20 de 6 para obter -14.

$$-2x^{2}+3x=-14$$

Divida ambos os lados por -2.

$$\frac{-2x^{2}+3x}{-2}=-\frac{14}{-2}$$

Dividir por -2 anula a multiplicação por -2.

$$x^{2}+\frac{3}{-2}x=-\frac{14}{-2}$$

Divida 3 por -2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{14}{-2}$$

Divida -14 por -2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Divida -\frac{3}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{3}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{3}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{3}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Some 7 com \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Fatorize x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Some \frac{3}{4} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$