Resolver 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 5x^{2}+ax+bx-2184. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -1.

$$a=-105 b=104$$

Reescreva 5x^{2}-x-2184 como \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Fator out 5x no primeiro e 104 no segundo grupo.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Decomponha o termo comum x-21 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-21=0 e 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 5 por a, -1 por b e -2184 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multiplique -4 vezes 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multiplique -20 vezes -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Some 1 com 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Calcule a raiz quadrada de 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

O oposto de -1 é 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Multiplique 2 vezes 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±209}{10} quando ± for uma adição. Some 1 com 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Divida 210 por 10.

$$x=21$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±209}{10} quando ± for uma subtração. Subtraia 209 de 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Reduza a fração \frac{-208}{10} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

A equação está resolvida.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Some 2184 a ambos os lados da equação.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Subtrair -2184 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Subtraia -2184 de 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Divida ambos os lados por 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Dividir por 5 anula a multiplicação por 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Divida -\frac{1}{5}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{10}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{10} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{10}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Some \frac{2184}{5} com \frac{1}{100} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Fatorize x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Some \frac{1}{10} a ambos os lados da equação.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$