Resolver 420=-16t^2+180t

$$420 = - 16 t ^ { 2 } + 180 t$$

Resolva para t

$$t = \frac{\sqrt{345} + 45}{8} \approx 7,946771953$$

$$t = \frac{45 - \sqrt{345}}{8} \approx 3,303228047$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$-16t^{2}+180t=420$$

Subtraia 420 de ambos os lados.

$$-16t^{2}+180t-420=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -16 por a, 180 por b e -420 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\left(-16\right)\left(-420\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Calcule o quadrado de 180.

$$t=\frac{-180±\sqrt{32400-4\left(-16\right)\left(-420\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplique -4 vezes -16.

$$t=\frac{-180±\sqrt{32400+64\left(-420\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplique 64 vezes -420.

$$t=\frac{-180±\sqrt{32400-26880}}{2\left(-16\right)}$$

Some 32400 com -26880.

$$t=\frac{-180±\sqrt{5520}}{2\left(-16\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 5520.

$$t=\frac{-180±4\sqrt{345}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplique 2 vezes -16.

$$t=\frac{-180±4\sqrt{345}}{-32}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{-180±4\sqrt{345}}{-32} quando ± for uma adição. Some -180 com 4\sqrt{345}.

$$t=\frac{4\sqrt{345}-180}{-32}$$

Divida -180+4\sqrt{345} por -32.

$$t=\frac{45-\sqrt{345}}{8}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{-180±4\sqrt{345}}{-32} quando ± for uma subtração. Subtraia 4\sqrt{345} de -180.

$$t=\frac{-4\sqrt{345}-180}{-32}$$

Divida -180-4\sqrt{345} por -32.

$$t=\frac{\sqrt{345}+45}{8}$$

A equação está resolvida.

$$t=\frac{45-\sqrt{345}}{8} t=\frac{\sqrt{345}+45}{8}$$

Passos Para Completar o Quadrado

Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$-16t^{2}+180t=420$$

Divida ambos os lados por -16.

$$\frac{-16t^{2}+180t}{-16}=\frac{420}{-16}$$

Dividir por -16 anula a multiplicação por -16.

$$t^{2}+\frac{180}{-16}t=\frac{420}{-16}$$

Reduza a fração \frac{180}{-16} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$t^{2}-\frac{45}{4}t=\frac{420}{-16}$$

Reduza a fração \frac{420}{-16} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$t^{2}-\frac{45}{4}t=-\frac{105}{4}$$

Divida -\frac{45}{4}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{45}{8}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{45}{8} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}-\frac{45}{4}t+\left(-\frac{45}{8}\right)^{2}=-\frac{105}{4}+\left(-\frac{45}{8}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{45}{8}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$t^{2}-\frac{45}{4}t+\frac{2025}{64}=-\frac{105}{4}+\frac{2025}{64}$$

Some -\frac{105}{4} com \frac{2025}{64} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$t^{2}-\frac{45}{4}t+\frac{2025}{64}=\frac{345}{64}$$

Fatorize t^{2}-\frac{45}{4}t+\frac{2025}{64}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{45}{8}\right)^{2}=\frac{345}{64}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t-\frac{45}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{345}{64}}$$

Simplifique.

$$t-\frac{45}{8}=\frac{\sqrt{345}}{8} t-\frac{45}{8}=-\frac{\sqrt{345}}{8}$$

Some \frac{45}{8} a ambos os lados da equação.

$$t=\frac{\sqrt{345}+45}{8} t=\frac{45-\sqrt{345}}{8}$$