Resolver 40y^2-10y-15

$$40 y ^ { 2 } - 10 y - 15$$

Fatorizar

$$5\left(4y-3\right)\left(2y+1\right)$$

Passos Para a Resolução

Decomponha 5.

$$5\left(8y^{2}-2y-3\right)$$

Considere 8y^{2}-2y-3. Fatorize a expressão ao agrupar. Em primeiro lugar, a expressão tem de ser reescrita como 8y^{2}+ay+by-3. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-2 ab=8\left(-3\right)=-24$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

A solução é o par que devolve a soma -2.

$$a=-6 b=4$$

Reescreva 8y^{2}-2y-3 como \left(8y^{2}-6y\right)+\left(4y-3\right).

$$\left(8y^{2}-6y\right)+\left(4y-3\right)$$

Decomponha 2y em 8y^{2}-6y.

$$2y\left(4y-3\right)+4y-3$$

Decomponha o termo comum 4y-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(4y-3\right)\left(2y+1\right)$$

Reescreva a expressão fatorizada completa.

$$5\left(4y-3\right)\left(2y+1\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$40y^{2}-10y-15=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 40\left(-15\right)}}{2\times 40}$$

Calcule o quadrado de -10.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 40\left(-15\right)}}{2\times 40}$$

Multiplique -4 vezes 40.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-160\left(-15\right)}}{2\times 40}$$

Multiplique -160 vezes -15.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 40}$$

Some 100 com 2400.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 40}$$

Calcule a raiz quadrada de 2500.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 40}$$

O oposto de -10 é 10.

$$y=\frac{10±50}{2\times 40}$$

Multiplique 2 vezes 40.

$$y=\frac{10±50}{80}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{10±50}{80} quando ± for uma adição. Some 10 com 50.

$$y=\frac{60}{80}$$

Reduza a fração \frac{60}{80} para os termos mais baixos ao retirar e anular 20.

$$y=\frac{3}{4}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{10±50}{80} quando ± for uma subtração. Subtraia 50 de 10.

$$y=-\frac{40}{80}$$

Reduza a fração \frac{-40}{80} para os termos mais baixos ao retirar e anular 40.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Fatorize a expressão original através de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitua \frac{3}{4} por x_{1} e -\frac{1}{2} por x_{2}.

$$40y^{2}-10y-15=40\left(y-\frac{3}{4}\right)\left(y-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Simplifique todas as expressões de p-\left(-q\right) para p+q.

$$40y^{2}-10y-15=40\left(y-\frac{3}{4}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right)$$

Subtraia \frac{3}{4} de y ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$40y^{2}-10y-15=40\times \frac{4y-3}{4}\left(y+\frac{1}{2}\right)$$

Some \frac{1}{2} com y ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$40y^{2}-10y-15=40\times \frac{4y-3}{4}\times \frac{2y+1}{2}$$

Multiplique \frac{4y-3}{4} vezes \frac{2y+1}{2} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$40y^{2}-10y-15=40\times \frac{\left(4y-3\right)\left(2y+1\right)}{4\times 2}$$

Multiplique 4 vezes 2.

$$40y^{2}-10y-15=40\times \frac{\left(4y-3\right)\left(2y+1\right)}{8}$$

Anule o maior fator comum 8 em 40 e 8.

$$40y^{2}-10y-15=5\left(4y-3\right)\left(2y+1\right)$$

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$$40y^{2}-10y-15$$