Resolver 4x^2+25x=-36

$$4 x ^ { 2 } + 25 x = - 36$$

Resolva para x

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2,25$$

$$x=-4$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Adicionar 36 em ambos os lados.

$$4x^{2}+25x+36=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 4x^{2}+ax+bx+36. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=25 ab=4\times 36=144$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

A solução é o par que devolve a soma 25.

$$a=9 b=16$$

Reescreva 4x^{2}+25x+36 como \left(4x^{2}+9x\right)+\left(16x+36\right).

$$\left(4x^{2}+9x\right)+\left(16x+36\right)$$

Fator out x no primeiro e 4 no segundo grupo.

$$x\left(4x+9\right)+4\left(4x+9\right)$$

Decomponha o termo comum 4x+9 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(4x+9\right)\left(x+4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 4x+9=0 e x+4=0.

$$x=-\frac{9}{4} x=-4$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4x^{2}+25x=-36$$

Some 36 a ambos os lados da equação.

$$4x^{2}+25x-\left(-36\right)=-36-\left(-36\right)$$

Subtrair -36 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4x^{2}+25x-\left(-36\right)=0$$

Subtraia -36 de 0.

$$4x^{2}+25x+36=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, 25 por b e 36 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 4\times 36}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 4\times 36}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-16\times 36}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes 36.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-576}}{2\times 4}$$

Some 625 com -576.

$$x=\frac{-25±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 49.

$$x=\frac{-25±7}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$x=\frac{-25±7}{8}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-25±7}{8} quando ± for uma adição. Some -25 com 7.

$$x=-\frac{18}{8}$$

Reduza a fração \frac{-18}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{9}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-25±7}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 7 de -25.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Divida -32 por 8.

$$x=-4$$

A equação está resolvida.

$$x=-\frac{9}{4} x=-4$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+25x=-36$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4x^{2}+25x}{4}=-\frac{36}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$x^{2}+\frac{25}{4}x=-\frac{36}{4}$$

Divida -36 por 4.

$$x^{2}+\frac{25}{4}x=-9$$

Divida \frac{25}{4}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{25}{8}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{25}{8} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{25}{4}x+\left(\frac{25}{8}\right)^{2}=-9+\left(\frac{25}{8}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{25}{8}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{25}{4}x+\frac{625}{64}=-9+\frac{625}{64}$$

Some -9 com \frac{625}{64}.

$$x^{2}+\frac{25}{4}x+\frac{625}{64}=\frac{49}{64}$$

Fatorize x^{2}+\frac{25}{4}x+\frac{625}{64}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{25}{8}=\frac{7}{8} x+\frac{25}{8}=-\frac{7}{8}$$

Subtraia \frac{25}{8} de ambos os lados da equação.

$$x=-\frac{9}{4} x=-4$$