Resolver 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Resolva para x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 21 de ambos os lados.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Subtraia 21 de 1 para obter -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Divida ambos os lados por 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2x^{2}+ax+bx-10. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

A solução é o par que devolve a soma 1.

$$a=-4 b=5$$

Reescreva 2x^{2}+x-10 como \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Fator out 2x no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Decomponha o termo comum x-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-2=0 e 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Subtraia 21 de ambos os lados da equação.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Subtrair 21 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Subtraia 21 de 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, 2 por b e -20 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Some 4 com 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-2±18}{8} quando ± for uma adição. Some -2 com 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Divida 16 por 8.

$$x=2$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-2±18}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 18 de -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Reduza a fração \frac{-20}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Subtrair 1 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Subtraia 1 de 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Reduza a fração \frac{2}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Divida 20 por 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Divida \frac{1}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{1}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{1}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{1}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Some 5 com \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Fatorize x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Subtraia \frac{1}{4} de ambos os lados da equação.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$