Resolver 4x^2-12x-7=0

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Resolva para x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 4x^{2}+ax+bx-7. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

A solução é o par que devolve a soma -12.

$$a=-14 b=2$$

Reescreva 4x^{2}-12x-7 como \left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Decomponha 2x em 4x^{2}-14x.

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Decomponha o termo comum 2x-7 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 2x-7=0 e 2x+1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, -12 por b e -7 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

Some 144 com 112.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 256.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

O oposto de -12 é 12.

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$x=\frac{12±16}{8}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{12±16}{8} quando ± for uma adição. Some 12 com 16.

$$x=\frac{28}{8}$$

Reduza a fração \frac{28}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{12±16}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 16 de 12.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Reduza a fração \frac{-4}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Some 7 a ambos os lados da equação.

$$4x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Subtrair -7 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Subtraia -7 de 0.

$$4x^{2}-12x=7$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{7}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{7}{4}$$

Divida -12 por 4.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{4}$$

Divida -3, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{3}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{3}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{3}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7+9}{4}$$

Some \frac{7}{4} com \frac{9}{4} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4$$

Fatorize x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=4$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplifique.

$$x-\frac{3}{2}=2 x-\frac{3}{2}=-2$$

Some \frac{3}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$