Resolver 39x^2+14x-9=0

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

Resolva para x

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0,692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 39x^{2}+ax+bx-9. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -351.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

A solução é o par que devolve a soma 14.

$$a=-13 b=27$$

Reescreva 39x^{2}+14x-9 como \left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right).

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

Fator out 13x no primeiro e 9 no segundo grupo.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x-1=0 e 13x+9=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 39 por a, 14 por b e -9 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Calcule o quadrado de 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Multiplique -4 vezes 39.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Multiplique -156 vezes -9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

Some 196 com 1404.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

Calcule a raiz quadrada de 1600.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

Multiplique 2 vezes 39.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-14±40}{78} quando ± for uma adição. Some -14 com 40.

$$x=\frac{26}{78}$$

Reduza a fração \frac{26}{78} para os termos mais baixos ao retirar e anular 26.

$$x=\frac{1}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-14±40}{78} quando ± for uma subtração. Subtraia 40 de -14.

$$x=-\frac{54}{78}$$

Reduza a fração \frac{-54}{78} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=-\frac{9}{13}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Some 9 a ambos os lados da equação.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtrair -9 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

Subtraia -9 de 0.

$$39x^{2}+14x=9$$

Divida ambos os lados por 39.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

Dividir por 39 anula a multiplicação por 39.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

Reduza a fração \frac{9}{39} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

Divida \frac{14}{39}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{7}{39}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{7}{39} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{7}{39}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

Some \frac{3}{13} com \frac{49}{1521} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

Fatorize x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

Subtraia \frac{7}{39} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$