Resolver 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Fatorizar

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Passos Para a Resolução

Multiplique e combine termos semelhantes.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -16 e q divide o coeficiente inicial 3. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=-4$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 por x+4 para obter 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -4 e q divide o coeficiente inicial 3. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=-4$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir 3x^{3}+12x^{2}-x-4 por x+4 para obter 3x^{2}-1. Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 3 por a, 0 por b e -1 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Resolva a equação 3x^{2}-1=0 quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Reescreva a expressão fatorizada ao utilizar as raízes obtidas. O polinómio 3x^{2}-1 não é fatorizado, pois não tem raízes racionais.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Avaliar

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Passos Para a Resolução

Combine 48x^{2} e -x^{2} para obter 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$