Resolver 3x^2-11x-4<0

$$3 x ^ { 2 } - 11 x - 4 < 0$$

Resolver o valor x

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Para resolver a desigualdade, fatorize o lado esquerdo. O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-11x-4=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 3 por a, -11 por b e -4 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{11±13}{6}$$

Resolva a equação x=\frac{11±13}{6} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=4 x=-\frac{1}{3}$$

Rescreva a desigualdade ao utilizar as soluções obtidas.

$$3\left(x-4\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)<0$$

Para que o produto seja negativo, x-4 e x+\frac{1}{3} têm de ser dos sinais opostos. Consideremos o caso em que x-4 é positivo e x+\frac{1}{3} é negativo.

$$x-4>0 x+\frac{1}{3}<0$$

Isto é falso para qualquer valor x.

$$x\in \emptyset$$

Consideremos o caso em que x+\frac{1}{3} é positivo e x-4 é negativo.

$$x+\frac{1}{3}>0 x-4<0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é x\in \left(-\frac{1}{3},4\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

A solução final é a união das soluções obtidas.

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$