Resolver 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Resolva para n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3n^{2}+an+bn-15. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

A solução é o par que devolve a soma -4.

$$a=-9 b=5$$

Reescreva 3n^{2}-4n-15 como \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Fator out 3n no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Decomponha o termo comum n-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva n-3=0 e 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, -4 por b e -15 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Some 16 com 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

O oposto de -4 é 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{4±14}{6} quando ± for uma adição. Some 4 com 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Divida 18 por 6.

$$n=3$$

Agora, resolva a equação n=\frac{4±14}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 14 de 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Reduza a fração \frac{-10}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

A equação está resolvida.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Some 15 a ambos os lados da equação.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Subtrair -15 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Subtraia -15 de 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Divida 15 por 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Divida -\frac{4}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{2}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{2}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{2}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Some 5 com \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Fatorize n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplifique.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Some \frac{2}{3} a ambos os lados da equação.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$