Resolver 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Resolva para y

$$y=-\frac{21}{25}=-0,84$$

$$y=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 25y^{2}+ay+by-63. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

A solução é o par que devolve a soma -54.

$$a=-75 b=21$$

Reescreva 25y^{2}-54y-63 como \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

Fator out 25y no primeiro e 21 no segundo grupo.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Decomponha o termo comum y-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva y-3=0 e 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 25 por a, -54 por b e -63 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Calcule o quadrado de -54.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Multiplique -4 vezes 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Multiplique -100 vezes -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Some 2916 com 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Calcule a raiz quadrada de 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

O oposto de -54 é 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Multiplique 2 vezes 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{54±96}{50} quando ± for uma adição. Some 54 com 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

Divida 150 por 50.

$$y=3$$

Agora, resolva a equação y=\frac{54±96}{50} quando ± for uma subtração. Subtraia 96 de 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Reduza a fração \frac{-42}{50} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$y=-\frac{21}{25}$$

A equação está resolvida.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Some 63 a ambos os lados da equação.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Subtrair -63 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

Subtraia -63 de 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Divida ambos os lados por 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

Dividir por 25 anula a multiplicação por 25.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Divida -\frac{54}{25}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{27}{25}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{27}{25} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{27}{25}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Some \frac{63}{25} com \frac{729}{625} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Fatorize y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Simplifique.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Some \frac{27}{25} a ambos os lados da equação.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$