Resolver 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Resolva para x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 24x^{2}+ax+bx+21. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

A solução é o par que devolve a soma -65.

$$a=-56 b=-9$$

Reescreva 24x^{2}-65x+21 como \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Fator out 8x no primeiro e -3 no segundo grupo.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-7 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x-7=0 e 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 24 por a, -65 por b e 21 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Calcule o quadrado de -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Multiplique -4 vezes 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Multiplique -96 vezes 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Some 4225 com -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Calcule a raiz quadrada de 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

O oposto de -65 é 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Multiplique 2 vezes 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{65±47}{48} quando ± for uma adição. Some 65 com 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Reduza a fração \frac{112}{48} para os termos mais baixos ao retirar e anular 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{65±47}{48} quando ± for uma subtração. Subtraia 47 de 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Reduza a fração \frac{18}{48} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Subtraia 21 de ambos os lados da equação.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Subtrair 21 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Divida ambos os lados por 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Dividir por 24 anula a multiplicação por 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Reduza a fração \frac{-21}{24} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Divida -\frac{65}{24}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{65}{48}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{65}{48} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{65}{48}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Some -\frac{7}{8} com \frac{4225}{2304} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Fatorize x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Some \frac{65}{48} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$