Resolver 2y^2+y-21=0

$$2 y ^ { 2 } + y - 21 = 0$$

Resolva para y

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$y=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2y^{2}+ay+by-21. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=1 ab=2\left(-21\right)=-42$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

A solução é o par que devolve a soma 1.

$$a=-6 b=7$$

Reescreva 2y^{2}+y-21 como \left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right).

$$\left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right)$$

Fator out 2y no primeiro e 7 no segundo grupo.

$$2y\left(y-3\right)+7\left(y-3\right)$$

Decomponha o termo comum y-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(y-3\right)\left(2y+7\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva y-3=0 e 2y+7=0.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2y^{2}+y-21=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, 1 por b e -21 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de 1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes -21.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 2}$$

Some 1 com 168.

$$y=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 169.

$$y=\frac{-1±13}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$y=\frac{-1±13}{4}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{-1±13}{4} quando ± for uma adição. Some -1 com 13.

$$y=\frac{12}{4}$$

Divida 12 por 4.

$$y=3$$

Agora, resolva a equação y=\frac{-1±13}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 13 de -1.

$$y=-\frac{14}{4}$$

Reduza a fração \frac{-14}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

A equação está resolvida.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+y-21=0$$

Some 21 a ambos os lados da equação.

$$2y^{2}+y-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Subtrair -21 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$2y^{2}+y=-\left(-21\right)$$

Subtraia -21 de 0.

$$2y^{2}+y=21$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{21}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{21}{2}$$

Divida \frac{1}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{1}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{1}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{1}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{21}{2}+\frac{1}{16}$$

Some \frac{21}{2} com \frac{1}{16} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{169}{16}$$

Fatorize y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Simplifique.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{13}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{13}{4}$$

Subtraia \frac{1}{4} de ambos os lados da equação.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$