Resolver 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

Resolva para x

$$x=-4$$

$$x=9$$

Passos Para a Resolução

Subtraia 6 de ambos os lados da equação.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de 2x^{2}-10x-6.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Expanda \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Calcule 11 elevado a 2 e obtenha 121.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x^{2}-5x} elevado a 2 e obtenha x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 121 por x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Subtraia 121x^{2} de ambos os lados.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

Combine 76x^{2} e -121x^{2} para obter -45x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

Adicionar 605x em ambos os lados.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

Combine 120x e 605x para obter 725x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante 36 e q divide o coeficiente inicial 4. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=-4$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 por x+4 para obter 4x^{3}-56x^{2}+179x+9. Resolva a equação onde o resultado é igual a 0.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante 9 e q divide o coeficiente inicial 4. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=9$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 por x-9 para obter 4x^{2}-20x-1. Resolva a equação onde o resultado é igual a 0.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 4 por a, -20 por b e -1 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

Resolva a equação 4x^{2}-20x-1=0 quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Apresente todas as soluções encontradas.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Substitua -4 por x na equação 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Simplifique. O valor x=-4 satisfaz a equação.

$$72=72$$

Substitua 9 por x na equação 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Simplifique. O valor x=9 satisfaz a equação.

$$72=72$$

Substitua \frac{5-\sqrt{26}}{2} por x na equação 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Simplifique. O valor x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} não satisfaz a equação.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Substitua \frac{\sqrt{26}+5}{2} por x na equação 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Simplifique. O valor x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} não satisfaz a equação.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Listar todas as soluções de 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$x=-4 x=9$$