Resolver 2t^2-9t+9=0

$$2 t ^ { 2 } - 9 t + 9 = 0$$

Resolva para t

$$t = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$t=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2t^{2}+at+bt+9. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-9 ab=2\times 9=18$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 18.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

A solução é o par que devolve a soma -9.

$$a=-6 b=-3$$

Reescreva 2t^{2}-9t+9 como \left(2t^{2}-6t\right)+\left(-3t+9\right).

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(-3t+9\right)$$

Fator out 2t no primeiro e -3 no segundo grupo.

$$2t\left(t-3\right)-3\left(t-3\right)$$

Decomponha o termo comum t-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(t-3\right)\left(2t-3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva t-3=0 e 2t-3=0.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2t^{2}-9t+9=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, -9 por b e 9 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de -9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 9}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes 9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72}}{2\times 2}$$

Some 81 com -72.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±3}{2\times 2}$$

O oposto de -9 é 9.

$$t=\frac{9±3}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$t=\frac{9±3}{4}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{9±3}{4} quando ± for uma adição. Some 9 com 3.

$$t=\frac{12}{4}$$

Divida 12 por 4.

$$t=3$$

Agora, resolva a equação t=\frac{9±3}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 3 de 9.

$$t=\frac{6}{4}$$

Reduza a fração \frac{6}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$t=\frac{3}{2}$$

A equação está resolvida.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-9t+9=0$$

Subtraia 9 de ambos os lados da equação.

$$2t^{2}-9t+9-9=-9$$

Subtrair 9 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$2t^{2}-9t=-9$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2t^{2}-9t}{2}=-\frac{9}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t=-\frac{9}{2}$$

Divida -\frac{9}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{9}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{9}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{9}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Some -\frac{9}{2} com \frac{81}{16} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

Fatorize t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplifique.

$$t-\frac{9}{4}=\frac{3}{4} t-\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Some \frac{9}{4} a ambos os lados da equação.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$